3.1.1 空间向量及其加减运算课时教学实录

《空间向量及其加减运算》教学设计

一、教学目标

知识与技能：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律，并能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

过程与方法：经历向量由平面向空间推广的过程，让学生感受一个数学概念的推广可能带来的很多更好的性质，体会数形结合的数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

情感态度与价值观：经历向量由平面向空间推广的过程，体验数学在结构上的和谐性，激发学生的学习热情，培养学生勇于探索、创新的个性品质。

二、重点难点

重点：空间向量的概念、加减运算的意义及其运算律。

难点：空间向量加法的运算律。

三、教学方法

采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学。

四、教学过程

(一)创设情境，提出问题

师：在必修4中我们学习了一个新的量一向量，今天就让我们继续来研究它，首先，请看屏幕。

出示幻灯片，引导学生观察几个向量不共面的情况。

幻灯片：一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑起，在力F的作用下静止，三根绳子的受力情况如何?

(二)类比平面向量，自主探究

1、空间向量的有关概念

师：请同学们回忆一下在平面向量中学习的有关概念。

活动设计：学生回答，互相补充

向量、表示方法、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线(平行)向量、加法法则、减法法则。

师：在空间中，这些概念与平面向量完全相同。不同的是，平面向量仅限于研究同一平面的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

问题1：空间任意两个向量是否可能异面?为什么?

活动设计：课件展示，学生讨论、作答

师：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

2、空间向量的加减运算及其运算律

问题2：把平面向量的运算推广到空间向量，怎么定义空间向量的加法、减法运算?

问题3：平面内多个向量的加法公式能推广到空间吗?

推广1：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：A1A2+A2A3+A3A4+……+An-1An=A1An

推广2：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：A1A2+A2A3+A3A4+……+An-1An-A1An=0

活动设计：学生思考，用右边的图验证

问题4：平面向量的加法运算律有哪些?能推广到空间吗?你能验证向量加法结合律吗?

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

活动设计：引导学生用下面几何体验证，请学生上台作图并讲解

师：(1)由向量加法的交换律和结合律可知：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变，向量的加法可以按任意的组合与任意的次序进行。

(2)三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广。请同学们为这个法则起个名。

活动设计：学生阅读教材，思考并回答“探究”提出的问题

(三)

数学运用，深化认识

例题讲解：

例1已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑴ABBC；

⑵ABADAA'；

师：始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体中以公共始点为起点的对角线向量

巩固练习：

练***行六面体ABCDA'B'C'D'，

用AB，AD，AA'，表示向量BD'

和

BC'

练习2：空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：

1(1) AB(BCBD)21(2) AF(ABAC)2

(四)回顾反思，拓展延伸

课堂小结：

师：本节课学了哪些内容？哪个内容给你留下的印象最深?请一个同学小结一下!

活动设计：请学生小结

师：本节课我们从现实生活中抽象出空间向量，把平面向量的有关概念和加减运算推广到空间向量，这过程中蕴含着一种重要的数学思想——类比，同时我们也可以看到数学是有用的——它来源于生活，又服务于生活。

作业布置：

如图：M，N分别是四面体ABCD的棱AB，CD的中点。

求证：ADBD2MN.

五、板书设计

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