3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录与评析

备课人

课题

课标要求

教

学

目

标

重点

难点

授课时间

空间向量的正交分解及其坐标表示

掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示

知识目标

技能目标

理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；

在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量

提高辩证思维能力

情感态度价值观

空间向量基本定理

理解空间向量基本定理

问题与情境及教师活动

一、创设情景

平面向量基本定理的内容及其理解

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，

学生活动

教

学

过

程

及

方

法

使a1e12e2

二、建构数学

1、空间向量的基本定理

如果三个向量e1,e2,e3不共面，

那么对空间任一向量p，

存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，

使pxe1ye2ze3

证明：（存在性）设e1,e2,e3不共面，

OAA'C'CPBP'B'过点O作OAe1,OBe2,OCe3,OPp

过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；

在平面OAB内，过点P作直线PA//OB,PB//OA，分别与直线OA,OB相交于点A,B，于是，存在三个实数x,y,z，使

OA/OAxe1,OB/OBye2,OC/OCze3

∴OPOAOBOCxOAyOBzOC

所以pxe1ye2ze3

（唯一性）假设还存在x,y,z使px/e1y/e2z/e3

- 1 -

∴

问题与情境及教师活动

问题与情境及教师活动

xe1ye2ze3x/e1y/e2z/e3

学生活动

学生活动

∴(xx/)e1(yy/)e2(zz/)e30

yy/zz/e2e3

不妨设xx即xx0

∴e1//xxxx∴e1,e2,e3共面此与已知矛盾

∴该表达式唯一

，综上两方面，原命题成立

由此定理，

若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由我们把{e1,e2,e3}叫做空间的一个基底，e1,e2,e3叫e1,e2,e3线性表示，做基向量。

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i,j,k表示。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC

三、例题讲解

如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对

边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG

解：OGOMMG

O2OMMN3M12OA(ONOM)231211OA[(OBOC)OA]

2322A111OA(OBOC)OA233111OAOBOC633111

∴OGOAOBOC

633CGNB

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问题与情境及教师活动

四、课堂小练 如图，在正方体OADBCA/D/B/中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量OA,OB,OC表示OD和OM

解：OD/OAOBOC

学生活动

教

学

过

程

及

方

法

111OMOAOBOC

333

C B/ A/ D/ M B E O A D 教

学

小

结

课后

反思

- 3 -