4.3.2 空间两点间的距离公式第二课时教案

空间两点间的距离公式教学设计

一、本节课需掌握的内容

1、由特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，

探索并得出空间两点间的距离公式。

2、通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象力。

3、通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想。

二、教学重点和难点

探索和推导空间两点间的距离公式

三、教学过程设计

1、问题：

x*k.Com]如图，正方体ABCDA'B'C'D'棱长为1，BQ2QD',A'PP'D．求PQ的长．

设问（1）怎么求这两点距离呢？

（2）那么空间两点间距离是否也有公式？

我们先请一个同学来回答一下平面两点间距离公式。

学生回答A(x1,y1),Bx2,y2.ABx1x2y1y2。这是我们在平面22直角坐标系中得到的平面两点的距离公式。那么对于空间两点距离，我们也可以放在空间直角坐标系中研究。

2、猜想公式

（3）如已知A(x1,y1,z1),Bx2,y2,z2,这两点的距离是多少呢？

学生AB根据平面两点距离公式，猜想空间两点距离222x1x2y1y2z1z2。接下来请同学们自己动手尝试证明这个猜想。

3、证明公式

学生动手尝试，教师巡视，搜集学生的证法。挑选有代表的证明方法拍照投影到屏幕上。并请那些同学来回答自己的想法。并借助于长方体来说明，学生所画的那些情况相当于长方体的哪些位置。帮助学生理解，使抽象问题变直观、具体。

学生所画的图最有可能的情况

（1）P、Q两点在YOZ平面内，转化为平面两点距离，过点P、Q作Y轴的垂线，构造直角三角形解决。

（2）点P在上底面，点Q在侧面。过点P、Q分别作XOY平面的垂线，垂足分别为M、N,连接MN。在直角梯形PQMN中，过Q作PN的垂线，垂直为H。在RT△PHQ中计算PQ。空间问题转化为平面问题。

说明：

1、公式对特殊图形也成立。如这两点连线平行于坐标平面。

2、还可以在YOZ平面和XOZ平面内作P、Q两点的射影。

类比平面内两点间距离公式的推导过程，关键：作射影。平面内：

过点向轴作射影，构造直角三角形利用勾股定理解决。空间内：过点向面作射影，构造直角三角形利用勾股定理求解。

设计意图：使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程。

4、认识公式

我们对平面两点距离和空间两点距离作一比较。

[来源学§科§网Z§X§X§K]

平面两点距离

空间两点距离

定义

公式

推导

2这两点为端点的线段长度

ABx1x2y1y2

2ABx1x2y1y2z1z2

222构造直角三角形

方法

构造直角三角形，构造长方体

我们三维解决了，四维、五维怎么样？如A(x1,y1,z1,1),Bx2,y2,z2,2,

[来源:学§科§网Z§X§X§K]则ABx1x2y1y2z1z212。类比的好处在于，还可以类比出其他东西还可以知道了。

5、例题讲解

例1：如图，正方体ABCDA'B'C'D'棱长为1，BQ2QD',A'PP'D．求PQ的长．

2222

解：建立如图所示的空间直角坐标系，易得

11112A'1,0,1,P,0,,B1,1,0,D'0,0,1,Q,,

22333611121PQ0则.

632332222变式1：若Q为对角线D'B的中点，点P在面对角线A'D上运动时，探究PQ的最小值。

111Q解：易得,,,设Px,0,x,则

2221113PQx0x=2x22x

422222211212xx=

当且仅当时等号成立。

22422故PQ的最小值为112P,0,，此时。

222变式2：若P为面对角线A'D的中点，点Q在对角线D'B上运动时，探究PQ的最小值。

11P,0,解：易得,设Qx,x,1x,则

2211122PQxx01x=3x2x

2222211613xx=

当且仅当时等号成立。

63632故PQ的最小值为6112Q，此时,,。

6333变式3：若点P在面对角线A'D上运动，点Q在对角线D'B上运动时，探究PQ的最小值。

解：设Px1,0,x1,Qx2,x2,1x2,则

PQx2x122x201x2x1=2x122x13x222x21

2221116112x3xx,x=1

当且仅当1时等号成立。

22623623故PQ的最小值为161121QP,0,，此时，,,。

623332思考：已知正方体ABCDA'B'C'D'，若点Ｐ在底面ABCD内运动，Ｑ在棱DD'上运动，且PQ2，求PQ的中点M的轨迹与正方体相交所围成的表面的面积。

设点Mx,y,z,由题意可知OM1，故x2y2z21。

点M的轨迹是以原点为球心，半径长为1的球面。故所求的表面的面积为。

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6、课堂练习：课本第138页练习1，2，3，4 7，作业;课本第139页1，3