复习参考题公开课教案（教学设计）

第四章

圆与方程

复习题（100分，45分钟）

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. 圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为(

) A．x＋3y－2＝0

B．x＋3y－4＝0 C．x－3y＋4＝0

D．x－3y＋2＝0 2. 过点(1，0)的直线与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4相交，截得的弦的中点M的轨迹是(

) A．圆弧

B．圆

C．线段

D．直线

3. 圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3，1)，则直线l的方程为

(

) A．2x－y－5＝0

B．x－2y－1＝0 C．x－y－2＝0

D．x＋y－4＝0 4. 已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(

) A．66条

B．72条

C．74条

D．78条

5.已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是(

) 22A．(－22，22)

B．(－2，2)

C. 4,4

D. 11,

886. 〈杭州模拟〉若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b对称，则a－b的取值范围是(

)

A．(－∞，4)

B．(－∞，0)

C．(－4，＋∞)

D．(4，＋∞)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

y7. 若P(x，y)在圆(x－3)2＋(y－3)2＝6上运动，则的最大值为______．

x2228. 已知圆C的方程为x＋y＋ax＋2y＋a＝0，过定点A(1，2)可作该圆的两条切线，则a的取值范围为______．

9. 过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是_______．

10. 〈苏州一模〉过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为______．

三、解答题（11，12题各14分，13题16分，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 〈大连模拟〉已知圆M过点C(1，－1)，D(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．

- 1 -

12. 如图1所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D对称的点的坐标.

图1

13. 圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．

(1)求直线l1的方程；

(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P'Q'为直径的圆C总经过定点，并求出定点的坐标.

- 2 -

参考答案及点拨

一、1. D

点拨:设切线方程为y－3=k(x－1).∵点(1，3)在圆x2＋y2－4x＝0上，

∴点P为切点，∴圆心与P的连线应与切线垂直．

又∵圆心为(2，0)，∴033·k＝－1，解得k＝，

213∴切线方程为x－3y＋2＝0.∴选D. 2. A

点拨:定点A(1，0)，圆心C(－1，1)，设M(x，y)．

∵△AMC为直角三角形．

∴(x＋1)2＋(y－1)2＋(x－1)2＋y2＝(1+1)2+(0－1)2. ∴x2＋y2－y－1=0.∵点M在圆内，∴轨迹为圆弧．

3. D

点拨:由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2，0)，半径为2，则直线l的方程为y－1＝－1kAC

(x－3)＝－x＋3，即得x＋y－4＝0. 4. B

点拨:因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，所以经过其中1任意两点的割线共有×(12×11)＝66（条），过每一点的切线共有12条，可知与该2圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78（条），而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72（条）．故选B. 5. C

点拨:易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得k2k12＜1，即k2＜，解得－＜284k1k＜2. 46. A

点拨：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a＞0，即a＜2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，∴a－b＜4.

答图1 二、7. 2＋3

点拨:由

yy的几何意义知＝kOP，P在圆(x－3)2＋(y－3)2＝6上，xx- 3 -

如答图1所示，当P点是由O点向圆作切线的切点时，y的值最大，设直线OPx的斜率为k（k>0），则直线OP的方程为y＝kx，圆心O1的坐标为(3，3)，半径为6，圆心O1到直线OP的距离等于6，则有33k1k2＝6，解得k1＝2＋3，k2＝3－2（舍去），∴y的最大值是2＋3. x2323a243a228. 3,3

点拨:圆C的方程可变形为：(x+2)＋(y＋1)＝4，其中43a22323＞0，即－＜

a

＜.①∵过A可作该圆的两条切线，∴A在圆C433外，

∴1＋4＋a＋4＋a2＞0，即a2＋a＋9＞0.②

由①②可得：－23232323. ＜

a

＜.∴a的取值范围是,33339. ( 2，2)

点拨:方法一：如答图2所示，｜OP｜＝OAsinOPA＝2，易得P为CD的中点，故P(2，2)．

22xy2x2,方法二：设P(x，y)，则故P(2，2)．

y2.xy220

答图2 10. 35

点拨:如答图3所示，根据题意，得∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

∴2∠2＋2∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，

∴CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝28-141＝35.

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答图3 三、11.解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据题意得：21a）（(1b)2r2，a1，22222解得（1a）(1b)r，b1，故圆M的方程为(x－1)＋(y－1)＝4. r24，ab20，1｜BM｜·｜2PB｜，又｜AM｜＝｜BM｜＝2，｜PA｜＝｜PB｜，所以S＝2｜PA｜，而｜PA｜＝(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝12｜AM｜·｜PA｜＋PMAM22PM4，即S＝22PM4.因此要求S的最小值，只需求

2｜PM｜的最小值，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得｜PM｜的值最小，所以｜PM｜min＝2PM2min314183422＝3，所以四边形PAMB的面积的最小值为42324＝25. 12. 解：由B(1，1，0)，B1(1，1，1)，

1得BB1的中点E的坐标为1，1，，

2由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，

11得D1B1的中点F的坐标为，,1. 22设B1关于点D对称的点为M (x0，y0，z0)，

即D为B1M的中点，因为D(0，0，0)，

1x00，2x01，1y0所以0

，解得y01，2z1.01z002，所以B1关于原点D对称的点的坐标为（－1，－1，－1）. 13. 解：(1)∵直线l1过点A(3，0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，

设直线l1的方程为y＝k(x－3)(斜率不存在时，明显不符合要求)，即kx－y－3k＝0，

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∴圆心O(0，0)到直线l1的距离d＝2

(x－3)．

43kk21＝1，解得k＝±2，∴直线l1的4方程为y＝±(2)对于x2＋y2＝1，令y＝0，得x＝±1，∴可令P(－1，0)，Q(1，0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2的方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为yx3,x3,t＝

(x＋1)．解方程组得4t

ts1，y(x1)，ys1s14t2t∴P′3，.同理可得，Q′3，，∴以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－s1s14t3)＋ys16s22t2222＝0，又s＋t＝1，∴整理得(x＋y－6x＋1)＋y＝yts10，若圆C经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，∴圆C总经过定点，其坐标为(3±22，0)．

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