习题1.1ppt配套教案板书设计

截面问题

一．选择题（共16小题）

1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（

）

A．

B．

C．π

D．

2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中假命题是（

）

A．存在点E，使得A1C1∥平面BED1F

B．存在点E，使得B1D⊥平面BED1F

C．对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F

D．对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变

3．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EP⊥AC；

②EP∥BD；

③EP∥面SBD；

④EP⊥面SAC，

第1页（共33页）

其中恒成立的为（

）

A．①③

B．③④

C．①②

D．②③④

4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是（

）

A．

B．[4，5]

C．[3，5]

D．

5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（

）

A．

B．

C．

D．

6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个三棱柱的高为（

）

第2页（共33页）

A．a

B．a

C．a

D．a

7．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，的棱异面，则a的取值范围是（

）

A．（0，）

B．（0，）

和a，且长为a的棱与长为C．（1，）

D．（1，）

8．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA＝AB＝3，AF＝2，则于（

）

A．

B．

C．

D．

等9．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM＝C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是（

）

A．平面DMN⊥平面BCC1B1

B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值

C．△DMN可能为直角三角形

D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为第3页（共33页）

]

的正方形，AA1＝3，

E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则于（

）

A．

B．

C．

D．

等11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．

12．已知正方体A1B1C1D1﹣ABCD的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面α过点E且与直线OC1垂直，若AB＝1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为（

）

A．

B．

C．

D．

13．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2＝（

）

A．

B．

C．

D．

14．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（

）

第4页（共33页）

A．

B．

C．

D．

15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（

）

A．

B．1

C．

D．

16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（

）

A．4

B．

C．

D．

二．填空题（共4小题）

17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为

．

18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题第5页（共33页）

正确的是

（写出所有正确命题的编号）．

①当0＜CQ＜时，S为平行四边形；

②当CQ＝时，S为等腰梯形；

③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

④当CQ＝1时，S的面积为．

19．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是

．（写出所有正确命题的编号）

①当0＜CQ＜时，S为四边形

②当CQ＝时，S为等腰梯形

③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝

④当＜CQ＜1时，S为六边形

⑤当CQ＝1时，S的面积为．

20．在三棱锥P﹣ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为

．

三．解答题（共5小题）

21．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝第6页（共33页）

30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

22．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，E、F分别为CC1、BB1上的点，且EC＝B1F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC1于点N．

（1）若EC＝3BF，确定M、N的位置，使面BMN∥面AEF，并说明理由；

（2）K、R分别为AA1、C1B1中点，求证：KR∥面AEF．

23．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB．

（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．

24．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD＝SB＝棱SD上的点，SD⊥面APC．

（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；

，SD＝4，P为侧（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

第7页（共33页）

25．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3．

（1）证明：平面ABF∥平面DCE；

（2）在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3：5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

第8页（共33页）

二轮一截面问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（

）

A．

B．

C．π

D．

【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，

所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；

另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．

在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE＝2，AA1＝则∠A1AE＝．同理∠BAF＝＝，

，所以∠EAF＝，

，

故弧EF的长为：2×而这样的弧共有三条．

在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，

此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG＝所以弧FG的长为：1×于是，所得的曲线长为：故选：A．

第9页（共33页）

，

＝+．

＝．

2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中假命题是（

）

A．存在点E，使得A1C1∥平面BED1F

B．存在点E，使得B1D⊥平面BED1F

C．对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F

D．对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变

【解答】解：对A，当E为CC1的中点时，则F也为AA1的中点，∴EF∥A1C1，∴A1C1∥平面BED1F；故A为真命题；

对B，假设B1D⊥平面BED1F，则B1D在平面BCC1B1和平面ABB1A1上的射影B1C，B1A分别与BE，BF垂直，

可得E与C1重合，F与A1重合，而B，A1，C1，D1四点不共面，∴不存在这样的点E，故B为假命题；

对C，∵BD1⊥平面A1C1D，BD1⊂平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故C是真命题；

对D，∵＝+，∵CC1∥AA1∥平面BB1D1，∴四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值，故D是真命题；

故选：B．

第10页（共33页）

3．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EP⊥AC；

②EP∥BD；

③EP∥面SBD；

④EP⊥面SAC，

其中恒成立的为（

）

A．①③

B．③④

C．①②

D．②③④

【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．

故选：A．

第11页（共33页）

4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是（

）

A．

B．[4，5]

C．[3，5]

D．

【解答】解：取A1D1中点E，在DD1上取点F，使D1F＝2DF，连结EF、C1E、C1F，

则平面CMN∥平面C1EF，

∵是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），C1P∥平面CMN，

∴P∈线段EF，

∴当P与EF的中点O重合时，线段C1P长度取最小值PO，

当P与点E或点F重合时，线段C1P长度取最大值PE或PF，

∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，

点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，

∴C1Pmax＝C1E＝C1F＝C1Pmin＝PO＝＝＝5，EF＝4＝，5]．

第12页（共33页）

，

．

∴线段C1P长度的取值范围是[

故选：A．

5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，

则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，

∴平面EMNGQP∥平面A1BC1，

∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，

∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，

∴PE＝EM＝MN＝NG＝GQ＝PQ＝∴E到PN的距离d＝∴动点F的轨迹所形成的区域面积：

S＝2S梯形PNME＝2×故选：C．

＝．

，PN＝＝，

，

6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1第13页（共33页）

的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个三棱柱的高为（

）

A．a

B．a

C．a

D．a

【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，

以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），

∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面ABCD、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，

则三这个棱柱的高h＝PM＝RN＝QH，

这个三棱柱的高h＝PM＝故选：D．

＝＝．

7．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，的棱异面，则a的取值范围是（

）

A．（0，）

B．（0，）

和a，且长为a的棱与长为C．（1，）

D．（1，）

【解答】解：设四面体的底面是BCD，BC＝a，BD＝CD＝1，顶点为A，AD＝在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2

（1）

第14页（共33页）

取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，

所以在三角形AED中，AE＝ED＝∵两边之和大于第三边

∴＜2

得0＜a＜．

（负值0值舍）（2）

由（1）（2）得0＜a＜另解；可设AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，

BC＝，可得△ABC、△BCD为等腰直角三角形，

，即有0＜a＜，

可得AE＝DE＝故选：A．

8．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA＝AB＝3，AF＝2，则于（

）

A．

B．

C．

D．

等【解答】解：如图所示，延长BA，CF，交于G，连接EG，与PA交于K，则AG＝6，

过A做AH∥PB，与EG交于H，则故选：A．

＝＝＝＝，

第15页（共33页）

9．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM＝C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是（

）

A．平面DMN⊥平面BCC1B1

B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值

C．△DMN可能为直角三角形

D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，【解答】解：如图，

]

当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正第16页（共33页）

确；

当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，B正确；

若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，C错误；

当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．

]，D正确．

∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，故选：C．

10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1＝3，等E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则于（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：连结AC、BD，交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，

∴BD⊥平面ACC1A1，

则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，

∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，

在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，

则＝，

，AE＝，

＝．

∵A1C1＝2AO＝∴A1F＝，∴AF＝，∴故选：C．

第17页（共33页）

11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：连接BC1，则BC1∩B1C＝E，点P、E、F在平面BC1D1中，

且BC1⊥C1D1，C1D1＝1，BC1＝，

如图1所示；

在Rt△BC1D1中，以C1D1为x轴，C1B为y轴，建立平面直角坐标系，

如图2所示；

第18页（共33页）

则D1（1，0），B（0，），E（0，）；

设点E关于直线BD1的对称点为E′，

∵BD1的方程为x+∴kEE′＝﹣＝＝1①，

，

x+②，

∴直线EE′的方程为y＝由①②组成方程组，解得，

直线EE′与BD1的交点M（，所以对称点E′（，），

．

）；

∴PE+PF＝PE′+PF≥E′F＝故选：D．

12．已知正方体A1B1C1D1﹣ABCD的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面α过点E且与直线OC1垂直，若AB＝1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，AB＝1，

则＝1+＝，

OE2＝+＝，

＝2+＝，

∴+OE2＝，

∴OE⊥OC1；

又BD⊥平面ACC1A1，

∴BD⊥OC1，且OE∩BD＝O，

∴OC1⊥平面BDE，

第19页（共33页）

且S△BDE＝BD•OE＝×＝，

．

即α截该正方体所得截面图形的面积为故选：A．

13．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2＝（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F的截面下方体积为﹣＝，

＝，

∴另一部分体积为8a3﹣∴V1：V2＝故选：C．

，

第20页（共33页）

14．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，

则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，

如图所示：

∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，

∴EF＝HG＝PC＝2EH＝FG＝BD＝2且EF∥HG∥PC，

且EH∥FG∥BD，

，

，

故四边形EFGH为矩形，面积是4△EIH中，EI＝HI＝故△EIH的面积为，故EH上的高IJ＝，

，

即平面EFGHI的面积为5故选：C．

第21页（共33页）

15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（

）

A．

B．1

C．

D．

【解答】解：作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，

∵线段MN平行于对角面ACC1A1，∴M1N1∥AC．

设DM1＝DN1＝x，则MM1＝x，NN1＝1﹣x，

在直角梯形MNN1M1，

，

∴当时，MN的最小值为．

故选：D．

16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（

）

第22页（共33页）

A．4

B．

C．

D．

【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，

∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，

∴NB⊥MG，

∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，

△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°

∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，MG∩AM＝M，

∴NB⊥平面ADGM，

∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，

∵正方体的棱长为1

∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+故选：D．

．

二．填空题（共4小题）

17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为

10

．

第23页（共33页）

【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱CC1展开，在拼接一次，

其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论．

故答案为：10

18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是

②④

（写出所有正确命题的编号）．

①当0＜CQ＜时，S为平行四边形；

②当CQ＝时，S为等腰梯形；

③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

④当CQ＝1时，S的面积为．

第24页（共33页）

【解答】解：对于①，当0＜CQ＜时，如图所示，PQ∥AM，PQ≠AM，因此截面S为梯形，不是平行四边形，故①不正确；

对于②，当CQ＝时，如图所示，由①可知：截面APQD1是梯形，利用平行线的性质可得：AP＝QD1，因此可得：S为等腰梯形，故②正确；

对于③，当CQ＝时，如图所示，AP∩DC＝O，∵点P是BC的中点，可得CO＝CD＝AB，∴不正确；

对于④，当CQ＝1时，如图所示，截面S即APC1E是菱形，对角线长度分别为，S的面积＝故答案为：②④．

，

＝，故④正确．

，∴S与C1D1的交点R满足C1R＝，故③

19．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上第25页（共33页）

的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是

①②③

．（写出所有正确命题的编号）

①当0＜CQ＜时，S为四边形

②当CQ＝时，S为等腰梯形

③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝

④当＜CQ＜1时，S为六边形

⑤当CQ＝1时，S的面积为．

【解答】解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ⇒DT＝2CQ．

对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真．

对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQO1，所以AP＝D1Q，截面为等腰梯形，所以为真．

对于③，当CQ＝，QC1＝，DT＝2，D1T＝，利用三角形相似解得，C1R1＝，所以为真．

对于④，当＜CQ＜1时，＜DT＜2，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假．

对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为综上，选①②③．

20．在三棱锥P﹣ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为

8

．

第26页（共33页）

和，S的面积为，所以为假，

【解答】解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F

过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．

由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面

可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．

∴＝，

可得EF＝MN＝2．

同理可得：EN＝FM＝2．

∴截面的周长为8．

故答案为：8．

三．解答题（共5小题）

21．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

【解答】解：如图，沿着侧棱VA把正三棱锥V﹣ABC展开在一个平面内，如图（2），

第27页（共33页）

则AA′即为△AEF的周长的最小值，

且∠AVA′＝3×30°＝90°，

△VAA′中，由勾股定理得：

AA′＝＝＝4．

22．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，E、F分别为CC1、BB1上的点，且EC＝B1F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC1于点N．

（1）若EC＝3BF，确定M、N的位置，使面BMN∥面AEF，并说明理由；

（2）K、R分别为AA1、C1B1中点，求证：KR∥面AEF．

【解答】解：（1）当时，面BMN∥面AEF

证明：AC2＝AB2+BC2＝32，PA2+AC2＝PC2，

∴PA⊥AC，

∵PA⊥AB，AB∩AC＝A，

∴PA⊥面ABC，

∵EN＝，BF＝，∴ENBF，

∴四边形BFEN是平行四边形，∴BN∥EF，

∵＝，∴MN∥AE，

∵MN、BN⊂面BMN，且MN∩BN＝N，

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AE、EF⊂面AEF，且AE∩EF＝E，

∴当时，面BMN∥面AEF．

证明：（2）连接BC1交FE于点Q，连接QR

∵△BQF≌△C1QE，

∴BQ＝C1Q，∴QR∥BB1，且QR＝BB1，

∴QR∥AK，

连接AQ，则AQ∥KR，

∵AQ⊂平面AEF，KR⊄平面AEF，

∴KR∥面AEF．

23．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB．

（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．

【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．

证明：连结AC交BD于M，连结MN．

∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，

∵N是CF的中点，

∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，

∴AF∥平面BDN．

第29页（共33页）

（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝1，则BF＝1，FP＝∴OF＝．

），N（﹣，∵EF＝＝1，∴OP＝（AB﹣EF）＝，∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，，，∴）．

＝（﹣，，），＝（﹣，﹣，，

＝（0，2，0），）．

设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），则∴∴＝﹣1，||＝＞＝，令z＝，||＝得＝（2，0，．

．

），

∴cos＜，＝﹣∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．

24．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD＝SB＝棱SD上的点，SD⊥面APC．

（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；

，SD＝4，P为侧（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

第30页（共33页）

【解答】解：：（1）连BD，设AC交BD于O，

SD⊥面APC，可得SD⊥AP，SD⊥PC，

可得△PAD≌△PCD，可得∠SDA＝∠SDC，

可得SA＝SC，SO⊥AC，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

可得∠SOD为二面角S﹣AC﹣D的平面角，

在△SBD中，SB＝2可得cos∠SBD＝SO＝可得cos∠SOB＝，BD＝4，SD＝4，

＝＝2＝，

，

，

；

即有二面角S﹣AC﹣D的余弦值为﹣（2）若SD⊥平面PAC，

则SD⊥OP，

正方形ABCD的边长为2SD＝4，OD＝BD＝2，

则PD＝ODcos∠SDB＝2•，

＝，

故可在SP上取一点N，使PN＝PD，

过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．

在△BDN中知BN∥PO，

又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，

得BE∥面PAC，

由于SN：NP＝2：3，

故SE：EC＝2：3．

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25．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3．

（1）证明：平面ABF∥平面DCE；

（2）在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3：5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，

∴DE∥AF，∴AF∥平面DCE，

∵ABCD是正方形，AB∥CD，∴AB∥平面DCE，

∵AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，

∴平面ABF∥平面DCE；

（2）解：假设存在一点G，过G作MG∥BF交EC于M，连接BG，BM，

由VABCDEF＝VB﹣ADEF+VB﹣CDE＝设EG＝t，则VGFBME＝VB﹣EFG+VB﹣EGM＝设M到ED的距离为h，则∴则存在点G，满足EG＝，

即G为ED的中点时满足条件．

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，

，

，则，

，即h＝，解得t＝，

第33页（共33页）