习题1.1课堂实录

《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教学设计（包含教学反思）

丹江口市一中

高一数学

王鏖

一、

教材的理解与处理：

空间几何体的表面积与体积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。

二、教学目标确定：

学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但尚缺乏空间想象能力，缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：

1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积与体积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法. 2.过程与方法：使学生在表面积与体积公式的推导过程中充分感受数学的化归思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力. 3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度. 三、教学重点、难点确定：

本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点确定为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积与体积. 四、教学策略的选择说明

本节课主要是多面体和旋转体的表面积，学习过程中，要使学生理解知识点，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。

在教具使用上做到以下三点：

1、学生课前自己制作几何体模型，激发学生思维的兴趣。

2、运用ppt制作课件，做到图文并茂。

六、教学环节设计说明

（一）．创设情境，引入新课

[问题]：在初中，我们就学习了正方体和长方体的表面积，

以及它们的展开图，你知道它们的展开图与其表面积的关系吗？

设计意图：1、复习表面积的概念；2、介绍利用平面展开图求面积的方法，求立体图形的表面积。

（二）．探究棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法

[提出问题]：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形

围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算

它们的表面积？

[分析处理]：1、以五棱柱，四棱锥，三棱台的模型，同学们分组合作，把模型展开，它们的展开图，表面积如何？

2、当学生得出结论后，教师反问：对于其他的棱柱、棱锥、棱台，结论又会如何？我们能否找到他们的共性？

3、让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的想法，最后总结出：

结论：<1>正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.<2>棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. [概括总结]：让学生明确棱柱的侧面展开图是若干个平行四边形，棱锥的侧面展开图是若干个三角形，棱台的侧面展开图是若干个梯形，这样就可以把空间几何体的表面积问题转化为平面图形的面积问题。

设计意图：这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认知冲突，激发他们探究新知的欲望和必要性，通过解决特殊问题，让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，符合学生的认知结构特征，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般。通过学生对以上问题的解答，真正把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识。

三、探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

[问题1]：圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？它们的展开图如何？

已知半径r，母线长为l，

[问题2]：若知道了圆柱、圆锥的底面圆半径r，母线长l，圆台的上、下底面半径分别是r，R,你能计算出它们的表面积吗？

[问题3]：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系? [分析处理]1、通过几何画板演示旋转体的形成过程，大家猜想一下他们的侧面积吗？

2、圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长有什么关系？

3、如何求圆台的侧面展开图“扇环”的面积？

[概括总结]：1.充分认识圆锥、圆柱、圆台的侧面展开图为矩形、扇环。它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).<4>圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.S（r'2r2r'lrl)

2、圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台。

设计意图：首先经过几何画板演示旋转体的形成过程，学生会非常直观的得到圆锥圆柱圆台的侧面展开图，把复杂的空间曲面问题转化为了平图形面积问题；其次在推导圆锥圆柱圆台的表面积公式中，我主要抓住了相关数量间的关系即：圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长的关系。引导

学生从度量的角度认识空间几何体，顺利推导圆柱、圆锥、圆台的表面积，从而突破本节的难点；最后在得到相关表面积公式后用运动、变化的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题。

[问题4]：回顾长方体，正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？

柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体=Sh(S为底面积，h为 柱体的高)；

（1/3)Sh(S为底面积，h为锥体的高)；

V锥体=V台体 =(1/3)(SSS'S')h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).

结论：（1）棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高. （2）圆锥的体积公式是V=(1/3)Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的1/3.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的1/3,即棱锥的体积V=(1/3)Sh (S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的1/3.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(1/3)(S′+S'S+S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆. (3)柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.

柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、

下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的

台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：

四．公式应用：

例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积

．

例2、如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 取cm,盆壁长15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米？

讨论：油漆位置？→

如何求花盆外壁表面积？ 列式

→

计算

→

变式训练：内外涂

例3：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm3）

讨论：六角螺帽的几何结构特征？

→

如何求其体积？

→

利用哪些数量关系求个数？

设计意图：解决实际问题的能力。

五、尝试小结：

（1）棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法。

将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。

（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算方法（公式不要求记忆），及其联系。

（3）柱、锥、台的表面积与体积的计算方法的应用。

设计意图：通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力。

六、课后作业：

教材第28页习题1.3A组第1、2、3题

七、教学反思

我在课堂上较好地体现了教师主导与学生主体作用的统一。在教学上采用了“引导--放手--引导”的方法，通过教师的“导”，鼓励学生积极、主动地探究新知，获得了成功。这节课的重点是使学生掌握柱体、锥体、台体的表面积公式及应用。在教学中，遵循教学的发展规律和学生的认识规律，紧紧抓住几何体的结构特征，通过适当的问题情景，从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开

图和表面积的关系，引出要学习的内容，然后通过“思考”、“探究”等活动，通过让学生看图、画图、分析这一亲自实践过程去体会、感受，逐步引导学生体会其中的由“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想的应用，突破难点。并采用观察、类比、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，勇于探索。以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，通过讲练结合，及时了解学生掌握情况，达到教学目的。学生的难点是不能建立较强的立体实物图。在教学设计中，注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。把问题交给学生，真正发现问题，利用生成教学，培养了学生独立性和分析问题的能力。

不足之处：内容过多，安排二个课时学习，第一课时重点是表面积，第二课时重点是体积。