习题2.3优秀教案内容

五环学习法高中数学学科导学稿（复习课）

班级_____________

学号_____________

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课题：空间中的垂直关系复习

（高三第一轮复习——第八章 立体几何）.

学习目标

1. 了解空间中直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义；

2. 掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法；

3. 运用直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理解决问题．

一．知识梳理

1. 平面内直线与直线垂直的判定

等腰三角形的高、中线，矩形的内角，直径所对的圆周角，菱形的对角线，给出长度满足勾股定理等。

2. 直线与平面垂直的判定

（1）利用定义：如果一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l。

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言可表示为：m,n,__________,lm,lnl. （3）其他方法：①

a//b,ab;

②

//,a,a;

③

,l,a,ala

3. 直线与平面垂直的性质

（1）由直线与平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面，则这条直线垂直于

平面内的任意一条直线。

（2）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。

用符号语言可表示为：a,ba//b

4. 两平面垂直的判定

（1）利用定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

用符号语言可表示为：a,a,

（3）其他方法：//,

5. 两平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

用符号语言可表示为：,________ , ________ , ________ , a

二．自主学习

1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(

) A．l与平面α内的两条直线垂直

B．l与平面α内无数条直线垂直

C．l与平面α内的某一条直线垂直

D．l与平面α内任意一条直线垂直

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是

1

“a⊥b”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(

) A．α⊥β且m⊂α

B．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥β

D．m⊥n，n⊂α且α∥β

4．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的四个面中直角三角形最多有__________个．

三．合作探究

探究任务一：

例1

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，

PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)

CD⊥AE；

(2)

PD⊥平面ABE.

探究任务二：

2

例2 如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)

求证：BD∥平面FGH；

(2)

若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

四．展示评议

五．反思拓展

三种垂直关系的转化示意图：

例3 如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)

CD⊥平面PBD. (2)

平面PBC⊥平面PDC.

六．课后巩固

3

1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(

) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

2. 如左下图，在斜棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H

必在（

）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．ABC内部

3．探究题: 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如右下图，PA0O所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，则三棱锥PABC是不是鳖臑？

给出下列结论：①AEBC；②EFPB；③AFBC；④AE平面PBC，哪一个是真命题？

第2题

第3题

4. 如图所示，M,N,K分别是正方体ABCDA1的中点。

1BC11D1的棱AB,CD,C1D平面A1MK.

求证：（1）AN//平面A1MK；

（2）

平面A1B1C

5．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

(1) 求证：EF⊥平面BCG；

(2)求三棱锥D－BCG的体积．

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