2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课教案整理

第二章

2.1

2.1.3、4

基础巩固

一、选择题

1．正方体的六个面中相互平行的平面有(

) A．2对

C．4对

[答案]

B 2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(

) B．3对

D．5对

A．相交

C．直线在平面内

[答案]

A [解析]

由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．

3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是(

) A．平行

C．异面

[答案]

D [解析]

如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，则MN∥B1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D．

4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．唯一一条直线不相交

C．仅与一组平行直线不相交

[答案]

D [解析]

根据直线和平面平行定义，易知排除A、B．对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴B．仅两条相交直线不相交

D．任意一条直线都不相交

B．相交

D．以上都有可能

B．平行

D．平行或直线在平面内

D正确．

5．平面α∥平面β，直线a∥α，则(

) A．a∥β

C．a与β相交

[答案]

D [解析]

如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；

如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D．

B．a在面β上

D．a∥β或a⊂β

6．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么(

) A．α∥β

C．α与β重合

[答案]

D [解析]

如右图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线．这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l. 二、填空题

7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：

B．α与β相交

D．α∥β或α与β相交

(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是__________ ________. (2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__________ ________. [答案]

平行

相交

8．(2015·四川成都七中月考) 两个不重合的平面可以把空间分成__________ ________部分．

[答案]

三或四

[解析]

两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分．

三、解答题

9.如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，试判

断

(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？

(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？

(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？

[解析]

(1)AM所在的直线与平面ABCD相交．

(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．

(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．

10.如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

[解析]

平面ABC与平面β的交线与l相交．

证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β. ∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．

即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

能力提升

一、选择题

1．直线a在平面γ外，则(

) A．a∥γ

C．a∩γ＝A

[答案]

D [解析]

直线α在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D．

2．若平面α∥平面β，则(

) A．平面α内任一条直线与平面β平行

B．a与γ至少有一个公共点

D．a与γ至多有一个公共点

B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行

C．平面α内存在一条直线与平面β不平行

D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交

[答案]

A 3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成(

) A．5部分

C．7部分

[答案]

C [解析]

垂直于交线的截面如图，把空间分成7部分，故选C．

B．6部分

D．8部分

4．若平面α外不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α的关系是(

) A．相交

C．相交或平行

[答案]

C [解析]

如图(1)，α∥β.如图(2)，α与β相交．

B．平行

D．以上都不是

二、填空题

5．下列命题正确的有__________ ________. ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；

⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；

⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b. [答案]

①⑤

[解析]

①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线

中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．

6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成__________ ________部分．

[答案]

27 三、解答题

7．已知三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

[解析]

(1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α. (2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a. 8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

[解析]

如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF. ∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E，F，C，D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF. ∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.