1.2.1 充要条件教案设计

1.2 充分条件和必要条件（2）

[教学目标]：

1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；

[教学重点、难点]：

理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．

[教学过程]：

一、复习回顾

一般地，如果已知pq，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件

[来源:学科网ZXXK][来源:学。科。网]⑴“abc”是“abbcca0”的 充分不必要 条件．

⑵若a、b都是实数，从①ab0；②ab0；③ab0；④ab0；⑤a2b20；⑥a2b20中选出使a、b都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．

二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．

1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知p：xy2；q：x、y不都是1，p是q的什么条件？

分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1，则xy2”真的

“若q则p”的逆否命题是“若xy2，则x、y都是1”假的

故p是q的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．

练习：已知p：x2或x方法一：p:2；q：x2或x1，则p是q的什么条件？

3[来源:Zxxk.Com]2

x2 q:1x23显然p是q的的充分不必要条件

方法二：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

“若p则q”等价于“若q则p”真的

“若q则p”等价于“若p则q”假的

故p是q的的充分不必要条件

2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性MNPQ 显然M是Q的充分不必要条件

3．充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x的一元二次不等式ax21ax于一切实数x都成立的充要条件

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

a0由题可知等价于a0或a0a0或0a40a4

04．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件

必要性：对于x、yR，如果x2y20

则x0，y0 即xy0

故xy0是x2y20的必要条件

不充分性：对于x、yR，如果xy0，如x0，y1，此时x2y20

故xy0是x2y20的不充分条件

综上所述：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

[来源:Zxxk.Com]例5：p：2x10；q：1mx1mm0．若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由于p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件

1m2m9

于是有101m三、练习：

1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）

2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件）

3．已知ab0，求证：ab1的充要条件是：a3b3aba2b20.