1.2.1 充分条件与必要条件课堂实录【3】

充分条件与必要条件

学习目标

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件

3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．

知识点一

充分条件与必要条件

(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．

知识点二

充要条件

思考

在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

归纳

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

A，

[来源学科网ZXXK]B，

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．( ) (3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( )

类型一

充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1

下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；

(4)p：a＞b，q：ac＞bc. 考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

反思与感悟

充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法：

①确定谁是条件，谁是结论；

②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．

(2)命题判断法：

①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

跟踪训练1

指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

6(2)p：|x－2|<3，q：x－5<－1；

(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

α>2，α＋β>4，(4)p：β>2，q：αβ>4.

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

充要条件的探求

例2

求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

考点

充要条件的概念及判断

题点

寻求充要条件

反思与感悟

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．

跟踪训练2

已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．

考点

充要条件的概念及判断

题点

寻求充要条件

反思与感悟

对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．

跟踪训练3

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2. 考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的证明

类型三

利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围) 例4

设命题p：x(x－3)＜0，命题q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

反思与感悟

在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．

根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p

是q的充要条件，则M＝N；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)求出参数的范围．

2x1跟踪训练4

设A＝，x∈R，B＝x＋m，x∈[－1，1]，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的范围

1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

2．若a，b，c是实数，则“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的( ) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．0＜a＜1

1C．0＜a＜2

B．0≤a≤1 D．a≥1或a≤0 [来源学*科*网Z*X*X*K]

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

充分、必要条件的判断

4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(用区间表示) 考点

充分条件的概念及判断

题点

由充分条件求取值范围

5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)

考点

充分条件、必要条件的判断

题点

充分、必要条件的判断

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．

(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．

(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.

四、探究与拓展

1．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号) ①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；f－x②p：()()fx＝1，q：y＝f(x)为偶函数；

③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；

④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 考点

充分、必要条件的判断

题点

充要条件的判断

2．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

考点

充分、必要条件的综合应用

题点

由充分、必要条件求参数的取值范围

[来源学#科#网]