3.3.4 两条平行直线间的距离教学目标设计

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离

知识与技能

（1）通过推导，得出点到直线的距离公式；

（2）推导两条平行线间的距离公式；

（3）会用距离公式解决实际问题.

过程与方法

通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.

情感态度价值观

(1)本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

(2)用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。

教学重点

推导点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式

教学难点

会灵活应用距离公式解决实际问题.

教学过程

一、复习准备：

1.提问：两条直线的交点坐标、两点间的距离公式

2.讨论：什么是平面上点到直线的距离？怎样才能求出这一段的距离？

3.讨论：两条平行直线间的距离怎样求？

二、讲授新课：

探究1

点到直线的距离

求点P0 (x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离

？

方法一：如图1 y Q l P0

图1 1.求过点P0 (x0,y0)且垂直于直线l垂线，交于l于点Q，0 联立直线P0Q与l方程，得出Q点坐标。

2.由两点间距离公式得出点到直线的距离。

x y l

方法二：

C

1.如图2，当A0,B0时，直线为yy1。

BBy0C点P0 (x0,y0)到l的距离为dy0y1B。

y l 0 C2.如图3，当A0,B0时，直线为xx1。

AAx0C点P0 (x0,y0)到l的距离为dx0x1AP0

图3 x 。

3.如图4，当A0,B0时，过点P0 (x0,y0)作x轴

y l S Q R Ax0C与y轴的垂线，交l分别于S(x0,)与

BBy0CR(,y0)。P0SAx0By0CABAx0By0C

|SR||P0R|A由三角形面积

0 P0

图4 x A2B2Ax0By0C2AB

|Ax0By0C|11d|PQ|知，。

P0Sp0RPQSR002222AB

经检验，1、2情况中的距离均符上式。

因此，点到直线的距离为

d|Ax0By0C|AB22

注：应用公式需要化简为一般式。

例1

求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0；

②3x=2的距离。

解：（1）由点到直线的距离公式得d|12210|212225。

y l x 25（2）由图可知d|1|。

33用点到直线距离公式检验（2），结果如何？

P 0 例2

求在两坐标轴上截距相等，且与点P(3,1)距离为

2的直线方程。

解：第一种情况，当直线过原点时，可设直线为y=kx，即kx-y=0由点到直线的距

离公式知d3k1k122

解得k=1或-1/7. xy第二种情况，当直线不过原点时，当直线不过原点时，设方程为1，aa即xya0，由点到直线距离公式可得得a=-2或-6. 综上直线方程为xy0x7y0xy20xy60

y l1

0 探究2

平行线间的距离

例3

求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0间的距离。

解：由中学知识可知，两平行线间距离处处相等。因此，

不妨取l2与x轴的交点P，则两平行线间的距离转化为

点P到直线l1的距离。

在直线方程l2中，令y=0，解得x=3，即点P（3,0）。应用点

到直线距离公式可知dl2

2370822721453。

53P x 总结：平行线间的距离转化为点到直线的距离

任意两条平行直线都可以写成如下形式（直线一般式方程）：

y l1

0 l1:AxByC10l2:AxByC20如图5，在l1上任取点P(x0,y0)，则满足

l2

图5

P x Ax0By0C1，利用点到直线距离公式得点P到直线l2的距离为

dAx0By0C2AB22C2C1AB22。

注：必须将直线方程x与y的系数化为相同。

例4 求平行线间的距离。

(1)2x3y80(2)3x4y102x3y180

6x8y0

8182322解：（1）有平行线间的距离公式可得d213。

（2）将直线方程化简为6x8y200，由距离公式可得d2006822

2。例5

知直线3x4y3=0与直线6xmy140平行，求两平行线间的距离。

解：将3x4y3=0化简为6x8y60，由距离公式可知d6146822。

小结

1.点到直线的距离公式（化为一般式）。

2.两平行线间的距离公式，以及使用注意事项。

作业

全品学练考导学案与练习册。