1.2.1 充要条件名师教学视频（文字实录）

1.2 充分条件和必要条件（1）

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：

（1）若xy,则xy; （2）若xy,则xy; （3）若x1,则x21; （4）若x1,则x122222[来源:学.科.网]

二、讲授新课

1.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. 用推断符号“和

”写出下列命题：⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则acbc；2．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“

xA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，

“pq”相当于“AB”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”

为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。

A BA C B

C

A 图2 图1 B

C A B

图3 图4

（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

三、例题

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件．

⑴p：x10，q：x1x20；

⑵p：两直线平行，q：内错角相等；

⑶p：ab，q：a2b2；

⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

四、课堂练习

课本P8 练习1、2、3 五、课堂小结

1．充分条件的意义；

2．必要条件的意义．

六、课后作业：

1.2 充分条件和必要条件（2）

[教学目标]：

1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；

[教学重点、难点]：

理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．

[教学过程]：

一、复习回顾

一般地，如果已知pq，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件

[来源:学科网ZXXK][来源:学。科。网]⑴“abc”是“abbcca0”的 充分不必要 条件．

⑵若a、b都是实数，从①ab0；②ab0；③ab0；④ab0；⑤a2b20；⑥

a2b20中选出使a、b都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．

二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．

1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知p：xy2；q：x、y不都是1，p是q的什么条件？

分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1，则xy2”真的

“若q则p”的逆否命题是“若xy2，则x、y都是1”假的

故p是q的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．

2练习：已知p：x2或x；q：x2或x1，则p是q的什么条件？

32

x2 q:1x23显然p是q的的充分不必要条件

方法二：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的方法一：p:[来源:Zxxk.Com]真假性

“若p则q”等价于“若q则p”真的

“若q则p”等价于“若p则q”假的

故p是q的的充分不必要条件

2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性MNPQ 显然M是Q的充分不必要条件

3．充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x的一元二次不等式ax21ax于一切实数x都成立的充要条件

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

a0由题可知等价于a0或a0a0或0a40a4

04．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件

必要性：对于x、yR，如果x2y20

则x0，y0 即xy0

故xy0是x2y20的必要条件

不充分性：对于x、yR，如果xy0，如x0，y1，此时x2y20

故xy0是x2y20的不充分条件

综上所述：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

[来源:Zxxk.Com]例5：p：2x10；q：1mx1mm0．若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由于p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件

1m2于是有m9

101m三、练习：

1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）

2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件）

3．已知ab0，求证：ab1的充要条件是：a3b3aba2b20. 简单的逻辑联结词（二）复合命题

教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；

教学重点：判断复合命题真假的方法；

教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法

课

型：新授课

教学手段：多媒体

一、创设情境

1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）

2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）

3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）

4．复合命题的构成形式是什么？

p或q(记作“p∨q”

)；

p且q(记作“p∨q”

)；非p(记作“┑q”

) 二、活动尝试

问题1:

判断下列复合命题的真假

（1）8≥7 （2）2是偶数且2是质数；

（3）不是整数；

解：（1）真；（2）真；（3）真；

命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？

三、师生探究

1．“非p”形式的复合命题真假：

例1：写出下列命题的非，并判断真假：

2（1）p：方程x+1=0有实数根

2（2）p：存在一个实数x，使得x－9=0．

2（3）p:对任意实数x，均有x－2x+1≥0；

（4）p：等腰三角形两底角相等

显然，当p为真时，非p为假；

当p为假时，非p为真．

2．“p且q”形式的复合命题真假：

例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；

（2）5是10的约数且是15的约数

（3）5是10的约数且是8的约数

（4）x2-5x=0的根是自然数

所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。

3．“p或q”形式的复合命题真假：

例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；

（2）5是12的约数或是8的约数；

（3）5是12的约数或是15的约数；

（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零

当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。

四、数学理论

1．“非p”形式的复合命题真假：

当p为真时，非p为假；

当p为假时，非p为真．

[来源:Zxxk.Com]（真假相反）

p 真

假

非p 假

真

2．“p且q”形式的复合命题真假：

当p、q为真时，p且q为真；

当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。

（一假必假）

p 真

真

假

假

q 真

假

真

假

p且q 真

假

假

假

3．“p或q”形式的复合命题真假：

当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。

（一真必真）

p 真

真

假

假

q 真

假

真

假

P或q[来源:Zxxk.Com]

真

真

真

假

注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；

2°由真值表得：

“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；

“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；

“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；

3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的

复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，

q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。

4°介绍“或门电路”“与门电路”。

或门电路（或）

与门电路（且）

五、巩固运用

例4：判断下列命题的真假：

（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数x,x2x10

分析：（4）为例：

第一步：把命题写成“对一切实数x,x2x10或x2x10”是p或q形式

第二步：其中p是“对一切实数x,x2x10”为真命题；q是“对一切实数x,x2x10”是假命题。

第三步：因为p真q假，

由真值表得：“对一切实数x,x2x10”是真命题。

例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：

（1）p：2+2=5；

q：3>2

（2）p：9是质数；

q：8是12的约数；

（3）p：1∈{1，2}；

q：{1}{1，2} （4）p：{0}；

q：{0} 解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25. ∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真. ②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数. ∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真. ③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}. ∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假. ④p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}. ∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假. 七、课后练习

1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（

）

A．简单命题

B．非p形式的命题

C．p或q形式的命题

D．p且q的命题

2．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（ ）

A．“p且q”是假命题

B．“p或q”是真命题

C．“非p”是真命题

D．“非q”是真命题

3．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。

（2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。

4．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. [来源学_科_网Z_X_X_K][来源:Z。xx。k.Com]

(1)5和7是30的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x－5＜2无自然数解. 5．判断下列命题真假：

（1）10≤8； （2）π为无理数且为实数；

（3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=，则A=或B=．

[来源:学科网ZXXK]6．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。

八、参考答案：

1．D

2．D

3．（1）真；（2）假

4．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．

(2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题．

(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．

5．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题．

6．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；

由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假

m2m3

（1）若命题p真而q为假则有m1,或m3（2）若命题p真而q为假，则有m21m2

1m3所以m≥3或1＜m≤2