2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案和学案内容

第二章

2.1

2.1.1

基础巩固

一、选择题

1．空间中，可以确定一个平面的条件是(

) A．两条直线

C．一个三角形

[答案]

C 2.如图所示，下列符号表示错误的是(

)

A．l∈α

C．l⊂α

[答案]

A [解析]

观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．

3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：

①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；

②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；

③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；

④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α. 其中表述方式和推理都正确的命题的序号是(

) A．①④

C．④

[答案]

C [解析]

①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．

4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于(

) B．②③

D．③

B．P∉l

D．P∈α

B．一点和一条直线

D．三个点

A．直线AC

C．直线CR

[答案]

C [解析]

由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR. B．直线BC

D．以上都不对

5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(

)

[答案]

A 6．下图中正确表示两个相交平面的是(

)

[答案]

D [解析]

A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．

二、填空题

7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：

(1)点C与平面β：________. (2)点A与平面α：________. (3)直线AB与平面α：________. (4)直线CD与平面α：________. (5)平面α与平面β：________. [答案]

(1)C∉β

(2)A∉α

(3)AB∩α＝B

(4)CD⊂α

(5)α∩β＝BD

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．

(1)直线AC1在平面CC1B1B内．

(2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1. (3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1. (4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．

[答案]

(2)(3)(4) [解析]

(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．

(2)正确．如图所示．

因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.

(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，

所以A，B1，C1，D共面．

三、解答题

9．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．

[分析]

[解析]

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．

求证：直线AB，BC，AC共面．

证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．

方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．

方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．

规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．

2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．

10.如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．

[解析]

∵AB∥CD，

∴AB，CD共面，设为平面β，

∴AC在平面β内，即E在平面β内．

而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，

可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，

根据公理3可得，B，D，E三点共线．

能力提升

一、选择题

1．(2015·天津武清月考) 下列说法正确的是(

) A．两两相交的三条直线确定一个平面

B．四边形确定一个平面

C．梯形可以确定一个平面

D．圆心和圆上两点确定一个平面

[答案]

C [解析]

因为梯形的两腰是相交直线，所以根据确定平面的条件，梯形应确定一个平面．

2．下列命题正确的是(

) A．两个平面如果有公共点，那么一定相交

B．两个平面的公共点一定共线

C．两个平面有3个公共点一定重合

D．过空间任意三点，一定有一个平面

[答案]

D [解析]

如果两个平面重合，则排除A、B；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取3个点都是两个平面的公共点，故排除C；而D中的三点不论共线还是不共线，则一定

能找到一个平面过这3个点．

3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(

) ①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②

C．①④

[答案]

D [解析]

当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．

4．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(

) B．②③

D．③④

A．点A

C．点C，但不过点D

[答案]

D [解析]

A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．

二、填空题

5．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________. [答案]

6 [解析]

如图．

B．点B

D．点C和点D

6.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．

(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．

(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．

[答案]

(1)BD

(2)AC

[解析]

(1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD．

(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．

三、解答题

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：

(1)E、C、D1、F、四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

[证明]

(1)分别连结EF、A1B、D1C，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，

1∴EF∥A1B且EF＝A1B．

2又∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴四边形A1D1CB是平行四边形，

∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1. EF与CD1确定一个平面．

∴E、F、D1、C四点共面．

1(2)∵EF綊CD1，

2∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，

∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．

又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．

而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，

∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE、D1F、DA三线共点．

8．(2015·江苏淮安模拟)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出直线l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．

[解析]

(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，

∴AD＝A1E＝A1D1＝a. 1∵A1P∥D1N，且D1N＝a，

211∴A1P＝D1N＝a，

2413于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a. 44