1.4.1 全称量词教案设计范例

1.4全称量词与存在量词

一、教学内容解析

本节选自高中数学A版选修1-1第一章第4节第1小节。主要内容是通过生活和数学实例，理解全称量词和特称量词的意义。就符号形式而言，它是一个全新的内容．就所表示的内容而言它是初中乃至高中课本大量数学命题的高度概括中的形式化，体现了从初中的数学知识较形象化向高中的数学知识较抽象化的进一步过度．

二、学生情况分析

学生已学过初中和高中必修①～⑤的全部内容，已拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题并不陌生，课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验，这些都是学生进一步学习的基础，一些常见的数学思想如转化，形式化思想在各个模块中也有所渗透，这些都为学习全称量词与特称量词提供了有利的保障和支撑. 三、教学目标

1、知识与技能

（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．

（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．

（3）能准确地写出全称命题和特称命题的否定，并掌握其之间的关系。

2、过程与方法

（1）．先让学生观察一些较为熟悉的数学命题，科学猜想，描述他们的量词的共同特征，培养学生的观察意识和能力，为抽象全称量词做好铺垫．

（2）．归纳有利于学生形成认识,在归纳的基础上，引导学生概括，引入数学符号“”，归纳全称命题，引入形式化命题.有特殊到一般,层层递近. （3）.演绎有利于帮助进一步认识问题的含义.在1和2的基础上给出一些全称命题让学生判断真假,启发引导学生交流讨论总结判断全称命题真假的一般方法, 培养举反例的能力.让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从而使学生从本质上认识全称量词的意义.

（4）．对特称命题的真假判断,可让学生类比全称命题的判断,通过练习,类比,讨论获得思想方法,再次让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从本质上认识量词的意义. 3、情感态度与价值观．

全称命题和特称命题的判断关键是看强调“”还是“”，也就是说“全称命题”是指含有“全称量词”的命题，“特称命题”是指含有“特称量词”的命题，这个命题可能是真命题，也可能是假命题，而不是看命题本身的真假来确定是全称命题还是特称命题，这一点学生容易理解错误．另外命题的否定与否命题也是有教大区别的，因此辨析很有必要，它有利于学生良好学习的习惯的形成，有利于学生感悟问题的本质. 四、重点与难点

学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于三个方面：①思维定势的影响，全称命题“xM,p(x)”中，变量x和含有变量的命题p(x)受函数概念的影响而不能正确理解全称命题；②理解数学符号表述含义的困难，这些困难不仅是对量词概念的理解，还包括命题中所含的其他数学符号的含义，如判断命题“a,bxxmn2,m,nQ，abxxmn2,m,nQ”的真假．教师引导学生辨析很有必要．教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把全称命题特称命题的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解概念的本质. 

五、教学过程

（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）

哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的. 1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：

(a)．任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和．

(b)．任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．

这就是哥德巴赫猜想．

欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明.从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．

中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充份大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常这个结果表示为

“1+2”这是目前这个问题的最佳结果．

科学猜想也是命题．

哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题．

教师：这里的“任何”作何理解？你能举一个例子验证它吗？由你所举的例子能说明把猜想中的“任何”改为什量词即成为真命题？

学生：探究交流，说出自己的想法。

教师：教师评价。

设计意图：利用数学史中命题情景，弘扬民族精神，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．

（ⅱ）．问题链设计

1．创设问题情景

下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？

(1)x>3；

(2)2x+1是整数；

(3)对所有的x∈R，x>3；

(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数

学生：经历观察、归纳的过程，在观察归纳中获得量词的一些共性，并说出自己的想法。

设计意图：使新知识建立在学生已有的知识之上，让学生经历观察、归纳的过程，在观察归纳中获得体验，抽象全称量词“”和全称命题．我们把具体模型的操作和学习看作是概念抽象和建构前的操作活动，通过为抽象概念搭建具体模型，有助于学生对抽象概念产生形象的认识，促进学生对概念的主动建构.

教师：（1）（2）不能判断真假，不是命题；（3）（4）由于增加了量词，可以判断真假，是命题。有相同意义的量词还有那些？

学生：所有的、每一个、全部等。

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。

师生：将变量x的取值范围用M表示，含有变量x的语句抽象为：p(x),q(x),r(x),,表示．则这些全称命题就可概括为“对M中的任意一个x，有p(x)恒成立”，记作“xM,p(x)”．

设计意图：在获得体验的基础上，通过交流获得共识，抽象全称命题的形式定义“xM,p(x)”，

突破教学重点．

2、全称命题举例

(1)对任意的n∈Z，2n+1是奇数

(2)所有的正方形都是矩形

学生：改成抽象形式的全称命题。

3．判断下列全称命题的真假．

（1）所有的素数都是奇数；

（2）xR,x211；[来源:Zxxk.Com]

（3）每一个无理数x，x2也是无理数．

教师：引导学生“动”起来。

学生：关键是要通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中的找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，则这个命题就是假名题．

设计意图：通过演绎让进一步认识全称量词的含义，启发引导学生交流讨论总结判断全称命题真假的一般方法,

培养举反例的能力.让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从而使学生从本质上认识全称量词的意义. 4．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？

(1)2x+1=3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在x使得2x+1=3；

(4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除

教师：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题，其中量词与全称量词有何区别。

学生：让学生经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象特称量词“”与特称命题的概念，

理解量词的本质含义．

教师：类比全称量词与全称命题的特点，特称命题如何用同一种形式表示它们呢？

学生：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题

特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可简记为“x0M,p(x0)”

讨论概括抽象特称命题的形式定义“x0M,p(x0)”。

设计意图：再次让学生已有的知识之上，经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象特称量词“”与特称命题的概念，理解量词的本质含义；培养学生的类比归纳和概括能力．

5、特称命题举例

(1)存在实数x,平方为8.

(2)有一个素数不是奇数

教师：要求学生试用抽象形式表述以上命题。

6．判断下列特称命题的真假．

（1）有些整数只有两个正因数．

（2）有一个实数x0，使x022x030；

（3）存在两个相交平面垂直于同一平面；

教师：引导学生“动”起来。

学生：通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断特称命题“x0M,p(x0)”是真命题，需要对集合M中的某一个元素x，p(x)成立；如果在集合M中的找不到任何一个元素x0，使得p(x0)成立，则这个命题就是假名题． 设计意图：通过演绎让进一步认识特称量词的含义，启发引导学生在类比全称命题真假的判断中总结判断特称命题真假的方法,培养学生分析问题解决的能力，理解量词的本质意义. 7．设函数f(x)x22xm，若对x2,4，f(x)0恒成立，求m的取值范围；

解决该问题的关键是对语句：“若对x2,4，f(x)0恒成立”的理解和在运用中领悟等价转化思想，即f(x)0恒成立fmin(x)0。

教师：引导学生获得：f(x)0恒成立fmin(x)0。

学生：x1,2，f(x)0fmin(x)0．∵x2,4,f(x)(x1)21m，

∴fmin(x)f(2)m0，∴m0。

设计意图：理解含有量词的数学命题，在运用的深化中加深对量词的理解，提高学生分析问题解决问题的能力．

二、目标检测．

1．下列命题中为全称命题的是（ (C) ）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形

；

（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；

(C)所有矩形都有外接圆

； （D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

设计意图：能正确判断全称命题和特称命题及其区别．

2．下列全称命题中真命题的个数是（

（C）

）

①末位是0的整数，可以被3整除；

②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

③对xZ,2x21为奇数．

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

3．下列特称命题中假命题．．．的个数是（ （A） ）

①xR,x0；

②有的菱形是正方形；

③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 2～3设计意图：能正确理解全称量词和特称量词．

4．命题“任意一个偶函数的图象关于y轴对称”的否定是（（A）

任意一个偶函数的图象不关于y轴对称；

（B）

任意一个不是偶函数的函数图象关于y轴对称；

（C）

存在一个偶函数的图象关于y轴对称；

（D）

存在一个偶函数的图象不关于y轴对称．

D） ）[来源:Zxxk.Com]

（

5．命题“存在一个三角形，内角和不等于180”的否定为（ （B） ）

（A）存在一个三角形，内角和等于180；

（B）所有三角形，内角和都等于180；

（C）所有三角形，内角和都不等于180；

（D）很多三角形，内角和不等于180．

4～5设计意图：能从变式的角度理解全称命题与特称命题．

6．把“正弦定理”改成含有量词的命题．

解：对任意一个ABC，都有BCACAB．

sinAsinBsinC设计意图：能够用量词正确表述一些公式、定理．

7．用符号“”与“”表示含有量词的命题“p：已知二次函数f(x)a(x21)b(x1)，则存1在实数a,b，使不等式xf(x)(x21)对任意实数x恒成立”．

21解：已知二次函数f(x)a(x21)b(x1)，则a,bR，使得对xR，xf(x)(x21)．

2设计意图：能够正确表述一些一些含有量词的数学命题，

8．对x(0,)，总a(0,)使得f(x)xa2恒成立，求a的取值范围．

x解析：由基本不等式f(x)xa2a（xa时取等号），得到fmin(x)2a，∴x2a2,a1．

设计意图：在具体的问题情境中，通过问题解决，领悟转化思想，培养学生分析问题解决的能力.

三、课堂小结

1.回顾反思所学内容

全称量词和存在量词的概括，全称命题和存在命题的命题形式。

2.知识结构

全称量词全称命题[来源:Zxxk.Com]

量词全称命题与特称命题的真假判断特称量词特称命题