习题2.3教学目标

《双曲线的简单几何性质》（第一课时）教学设计

四川大学附属中学（成都十二中）数学组：杨光虹

一、教学分析设计

（一）教材分析

解析几何是高中数学的一个重要分支，它是在建立平面直角坐标系的基础上，利用代数方法来研究几何问题。平面解析几何主要研究两个问题：一是根据已知条件求出曲线的方程；二是通过研究曲线的方程性质，进而得到平面曲线的性质。

本节内容是学习了双曲线的定义及其标准方程之后研究上述问题中的第二个问题，是继椭圆学习之后类比学习的一个重要内容。因此，本节课不仅要注意对研究结果的理解和应用，更要重视对研究方法的熟悉和巩固。本节教材是展示学生思维层次，提高学生思维认识的典范，是培养学生分析问题、解决问题能力的良好素材。

（二）学生分析

学生在学习了直线、圆和椭圆的方程之后，能利用直线方程研究直线的性质，能利用圆的方程研究圆的性质，也能利用椭圆的方程研究椭圆的性质，所以学生对解析法有一定的了解，具备一定的应用能力。学生通过类比能够掌握双曲线标准方程的结构特征，基本已具备由方程研究几何性质的能力。类比椭圆的简单几何性质，知道双曲线的简单几何性质也需要从图象的范围、对称性、顶点、离心率等入手。学生的思维方式和思维层次有所积累，因此，学生已经初步具备利用双曲线的标准方程自主探究双曲线的简单几何性质的能力。

（三）目标分析

学生能根据双曲线的标准方程探究出双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等最基础的知识点，能在老师的引导下研究双曲线的渐近线，能对相关知识进行简单运用；

学生在探究双曲线的简单几何性质的过程中，体验双曲线的方程与几何性质的关联，体验双曲线与椭圆的关联。

（四）媒体分析

利用多媒体辅助教学，借助实物投影展示学生的解题思路及解题过程，体现数形结合思想的应用。

（五）核心问题分析

设计思想：

本节课是双曲线的单几何性质第一课时，所以学生对双曲线几何性质的认识只能是从一些简单的直观感知开始，本节课的重点是要让学生能够在直观感知的基础上，通过研究双曲线标准方程的性质得出这些几何性质的理论依据。这个过程需要学生通过解析法建立数与形之间的关联，由于学生在前面已系统学习了椭圆的标准方程和简单几何性质，所以本节课的重点是对“解析法”的再认识和再运用，是类比椭圆对“解析法”的“再认识和再运用”。由于双曲线的简单几何性质本身对学生而言又是全新的，因此，本课采用“基于缄默知识的核心问题教学模式”，通过提出问题——解决问题——反思提升——运用反馈的四个环节加以实施。为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，突出学习的“再创造”，构建学生主动的学习活动过程，我把核心内容定位在“解析法”的应用上面，所以我拟定以下核心问题：

核心问题：类比椭圆的简单几何性质，结合双曲线的标准方程，探究双曲线的简单几何性质，利用“解析法”给出证明。

二、教学实施设计

（一）教学环节

环节

教学过程

1、创设情景,提出核心问题

前面我们学习了椭圆及其简单几何性质，利用椭圆的标准方程研究了椭圆的简单几何性质。本节课我们将利用双曲线的标准方程学生

活动

教师

活动

复习双曲线定义、标准方程并提出本节课的核心问题。

设计意图

及预设

回顾研究椭圆简单几何性质的过程和方法，提出核心问题勾起学生探究的欲望，激发学生的学习兴趣。

学生从直观感知双曲线的相关性质的过程中探究出结论，尝试用解析法加以证明，从而体验解析法在建立数形关联中的意义和作用，体验解析法的伟大之处。

回顾研究椭圆简单几何性质x2y2提21(a0,b0)来研究双曲线的几何性质。PPT展示双曲线的过程2ab出和方问的图形，给出核心问题。

法，进题

核心问题：类比椭圆的简单几何性质，结合双曲线的标准方程，探究双入情境，参曲线的简单几何性质，利用“解析法”给出证明。

与课堂活动。

分析思考，直观感22知，操22式x21y21即xa,xa

作确ab（2）对称性：双曲线关于y轴、x轴和原点都对称。

认。通原因：在双曲线标准方程里，以-x代x，或以-y代y，或以-x，-y过双曲分别代x、y，方程都不变。

线标准说明：利用双曲线的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画方程利图过程，保证图形的准确性。

用解析（3）顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点，这两个交点叫双曲线的法证明顶点，即Ａ１（-a,0）,A2(a,0)是双曲线的两个交点。

双曲线解的相关若令x0，则y2b2无实根，但把B10,b,B20,b画出来，决性质。问则称线段Ａ１Ａ２、Ｂ１Ｂ２分别叫双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别体验数题

为2a和2b，a和b分别叫双曲线的实半轴长和虚半轴长。

形之间的关（4）渐近线：类比椭圆，以xa,yb为边界作矩形，可以直观联。

感知双曲线会无限接近该矩形的对角线ybx（鼓励学生用不同方a法证明），称直线ybx为双曲线的渐近线。

a（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e，叫做双曲线的离心率。

说明：因为cab，所以e1b21，且e越大，开口a22222、交流合作，解决问题

（1）范围：双曲线位于直线xa的两侧。

原因：由标准方程可知，双曲线上的点的坐标（x,y）都适合不等分析引导、巡视、指导。展示学生的解决方案并作出恰当的点评。

ca越开阔。

3、知识与数学思想

（1）知识方面：

范围、对称性、顶点、渐近线、离心率

（2）数学思想：

①类比。类比椭圆的简单几何性质研究双曲线的简单几何性质。

反②猜想——证明。学生经历直观感知、猜想验证的过程，这是数学探思究教学的重要手段，也是学生学习知识，探究知识的最基本的方法。

提③数形结合的思想。借助双曲线的标准方程，得到范围、对称性、定升

点等是数到形，通过图形直观，再证明渐近线的形到数，不管是从形到数，还是从数到形都需要利用解析法进行严格的推理论证，所以贯穿本节的重要方法就是“解析法”的运用。

学生归纳总结，将双曲线的简单几何性质与椭圆的简单几何性质对比内化。

引导学生归纳相关知识，总结提炼。

学生在归纳知识的过程中再一次回顾知识的形成过程，体验解析法解决几何性质的作用。

4.反馈运用：

（1）求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

运用反馈

y2x2解：把已知方程化成标准方程221,半实轴长a4，半虚43c5轴长b3,ca2b25，焦点坐标是0,5,0,5;离心率e;a44渐近线方程yx。

3（2）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

学生独立探究并解决，熟悉双曲线的简单几何性质。

给出例题，巡视，指导。

让学生熟悉知识点，进一步体验数形结合的基本思想。

5x2y2①与椭圆1有公共焦点，离心率e；

44924x2y2②与双曲线1有相同的渐近线，焦距为20。

205x2y2x2y2y2x2解：①1

②分类讨论：1或1

16980202080（二）评价预设

本节课采用基于缄默知识的核心问题教学模式展开，学生基于核心问题明确了研究问题的方向：利用方程研究曲线的性质，老师在提出问题环节可以采用适当的引导启发式评价，让学生对研究方向更加具体明确。在解决问题环节，由于类比椭圆的简单几何性质，根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率是很简单的，所以教师应给予鼓励性评价。而双曲线所特有的渐近线方程是难点也是重点，这时需要教师给予启发引导式的评价。在归纳提升环节要有总结性评价，让学生形成共识。运用反馈环节重在对本节课的思想方法和知识点的强化，所以在评价中应为下节课的内容埋下伏笔。

（三）板书设计

双曲线的简单几何性质（一）

一、

提出问题：

复习引入，双曲线标准方程

核心问题：

二、

解决问题：

几何性质

三、

反思提升：

知识总结

思想方法

四、运用反馈：

（四）教学流程图

巡视，引导

实物投影

作出恰当点评

知识提升

巡视、引导、评价

三、教学反思反馈（课后完成）

（一）信息搜集

学生基本能完成反馈运用的练习题。

（二）反思判断

开始

创设情景、提出核心问题

学生活动：解决核心问题

全班交流展示探究结果

归纳提升

思想方法和解题步骤

反馈运用

点拨，小结

作业布置

结束

（1）从教案来看，设计思想清晰，教学目标明确可检测，核心问题设置合理可行，学生能根据问题情境建立关联点，能根据已有知识和缄默知识探究、解决核心问题，并从中找到体验点；

（2）从课堂实施情况看，各个环节井然有序、进展流畅，教师整体把握较好，能对学生的观点给予恰当点评，板书简洁、明了；

（3）从学生的课堂反应来看，能积极参与到课堂活动中，多数学生解决了核心问题，在教师引导学生进反思纳提升的时候，基本能有话可说。

（三）反馈调整

（1）教案的教学目标应进一步挖掘学生的关联点和体验点；

（2）应更加注重板书的示范性，要尽可能的规范、准确。

附：川大附中“核心问题教学”目标达成点检测表

川大附中“核心问题教学”目标达成点检测表

执教教师

基本

年

级

信息

课题名称

核心

问题

椭圆的简单几何性质（一）

高二

上课时间

2017年10月16日第5节

杨光虹

学

科

数学

核心问题：类比椭圆的简单几何性质，结合双曲线的标准方程，探究双曲线的简单几何性质，利用“解析法”给出证明。

结果性目学生能根据双曲线的标准方程探究出双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等最基础的知识点，能在老师的引导下研究双曲线的渐近线，能对相关知识进行简单运用。

学生在探究双曲线的简单几何性质的过程中，体验双曲线的方程与几何性质的关联，体验双曲线与椭圆的关联。

教学

目标

标

体验性目标

检

测

点

22解析法的理解和运用能力

（1）求双曲线9y16x144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

检测工（2）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

5x2y2①与椭圆有公共焦点，离心率；

e1具（题）

44924x2y2②与双曲线1有相同的渐近线，焦距为20。

205学生人检测

统计

A （学生B 人数：43人）

检测

分析

C D （2）②只写了一个

（2）②全错

7 2 16% 5 答案对，表述不是很规范

4 9% 答案全对，表述规范

30 70% 分类等级

分类标准

数

所占百分比

总体情况较好，学生基本上掌握了双曲线的简单几何性质以及解析法的运用，个别学生还需要进一步理解解析法的实质及与数形结合的关联。

学生深度体验有79%的学生能正确规范的解答（2）②。

典型实例