3.2.2 直线的两点式方程教学设计案例

3.2.2 直线的两点式方程

【课时目标】

1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．

1．直线方程的两点式和截距式

名称

已知条件

P1(x1，y1)，

两

P2(x2，y2)，

点

其中x1≠x2，

式

y1≠y2

截

距

式

在x，y轴上的

截距分别为a，b且ab≠0

示意图

方程

y－y1＝

y2－y1x－x1

x2－x1

使用范围

斜率存在

且不为0 斜率存在且不为0，

不过原点

2．线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则x＝

．

y＝



一、选择题

1．下列说法正确的是(

) y－y1A．方程＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程

x－x1B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1 C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b

D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式

2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(

) A．可以写成两点式或截距式

B．可以写成两点式或斜截式或点斜式

C．可以写成点斜式或截距式

D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

xyabyb22A．|b|B．－bC．bD．±b

4．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是(

) xyxy3．直线2－2＝1在y轴上的截距是(

) A．＋＝1B．＋＝1 －343－4C．－＝1D．＋＝1 －344－35．直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是(

) xaxyxyxymnxynm

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6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(

) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0

二、填空题

7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．

8．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．

9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是______________．

三、解答题

10．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．

11．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．

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能力提升

12．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．

13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．

1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．

2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．

3．强调两个问题：

(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．

y2－y1y－y1x－x1(2)方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)与＝(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)x2－x1y2－y1x2－x1＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．

3．2．2 直线的两点式方程答案

知识梳理

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xy1．＋＝1 abx1＋x2y1＋y22．

22作业设计

1．A 2．B 23．B [令x＝0得，y＝－b．] 4．A n5．B [两直线的方程分别化为斜截式：y＝x－n，

mmy＝x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号n相同．] 6．D [当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，

2将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；

5xy9当b≠0时，方程设为＋＝1，求得b＝，∴选D．] 2bb237．y－＝2(x－2) 21解析

kAB＝－，由k·kAB＝－1得

23k＝2，AB的中点坐标为2，，

23点斜式方程为y－＝2(x－2)．

2xyx8．＋＝1或＋y＝1 322xy6－2解析

设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线a＋1aa＋1axyxyxyx的方程是＋＝1或＋＝1，即＋＝1或＋y＝1．

2＋121＋11322xy9．＋＝1 26解析

设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，

即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．

xy则l的方程为＋＝1．

2610．解

方法一

设所求直线l的方程为y＝kx＋b．

∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．

令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；

bb令y＝0，∴x＝－，与x轴的交点为－，0．

66b22根据勾股定理得－＋b＝37，

6∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．

xy方法二

设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．

ab22由勾股定理知a＋b＝37．

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a＋b＝37，b又k＝－＝6，∴ba－＝6.aa＝1，解此方程组可得b＝－622

a＝－1，或b＝6.

yy＝1或－x＋＝1．

－66xy11．解

(1)由截距式得＋＝1，

－84∴AC所在直线方程为x－2y＋8＝0，

y－4x由两点式得＝，

6－4－2∴AB所在直线方程为x＋y－4＝0．

y－2x－－4(2)D点坐标为(－4,2)，由两点式得＝．

6－2－2－－4∴BD所在直线方程为2x－y＋10＝0．

1(3)由kAC＝，∴AC边上的中垂线的斜率为－2，

2又D(－4,2)，由点斜式得y－2＝－2(x＋4)，

∴AC边上的中垂线所在直线方程为2x＋y＋6＝0．

12．(0,1) 解析

要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．

113．解

当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，

71∴所求直线方程为y＝x，

7即x－7y＝0．

xy当直线l不过原点时，设其方程＋＝1，

ab由题意可得a＋b＝0，①

71又l经过点(7,1)，有＋＝1，②

abxy由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为＋＝1，即x－y－6＝0．

6－6故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．

因此所求直线l的方程为x＋

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