1.3.1 且（and）教案和学案内容

1.3简单的逻辑联结词

教学目标

1.知识与技能

了解命题的概念，理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义，掌握含有“或”，“且”，“非”的命题的构成．

2．过程与方法

(1)经历抽象的逻辑联结词的过程，培养学生观察，抽象，推理的思维能力．

(2)通过发现式的引导，培养学生发现问题，解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

培养学生积极参与，合作交流的主体意识，并在这过程中，培养学生对数学的兴趣和爱好．

重点难点

重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容．

难点：(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“非p”真假的规定和判定．

(2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“非p”．

为了突出重点，突破难点，在教学上宜采取了以下的措施：

(1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察，探讨，联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想．

(2)通过简单命题与含逻辑联结词的命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对含逻辑联结词的命题构成的理解，抓住其本质特点．

教学过程

引入新课

一、“且（and）”

问题导思

1．观察下列三个命题：

①2是6的约数；②2是8的约数；③2是6的约数且是8的约数．它们之间有什么关系？

【答案】

命题③是将命题①、②用“且”联结得到的新命题．

2．以上三个命题的真假情况是怎样的？

【答案】

均为真命题．

概括定义

1．定义

一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．

2．真假判断

当p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题. 二、“或（or）”

问题导思

1．观察下列三个命题：

①27是7的倍数；②27是3的倍数；③27是7的倍数或是3的倍数．它们之间有什么关系？

【答案】

命题③是将命题①②用“或”联结得到的新命题．

2．以上三个命题的真假情况是怎样的？

【答案】

①是假命题，②③是真命题．

概括定义

1．定义

一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．

2．真假判断

当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题. 三、“非（not）”

问题导思

1．观察下列两个命题

①4是16的算术平方根；②4不是16的算术平方根．它们之间有什么关系？

【答案】

命题②是对命题①的全盘否定．

2．以上两个命题的真假情况是怎样的？

【答案】

命题①为真命题，命题②为假命题．

概括定义

1．定义

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．

2．真假判断

若p是真命题，则非p必是假命题；若p是假命题，则非p必是真命题. 四、例题解析

例1

将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分,

q:平行四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直,

q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数. 解: （1）p且q:平行四边形的对角线互相平分且相等. 由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题. （2）p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分. 由于p是真命题,q是真命题,所以p∧q是真命题. （3）p∧q:35是15的倍数且是7的倍数. 由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题. 例2

用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假：

(1)1既是奇数,又是质数; (2)2和3都是质数. 解：(1)改写为:1是奇数且1是质数.由于“1是质数”是假命题,所以该命题为假命题. (2)改写为:2是质数且3是质数.因为“2是质数”与“3是质数”都是真命题,所以该命题为真命题. 例3 分别指出下列命题的形式并判断真假：

(1)2≤2;

(2) 集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;

(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个

三角形全等. 解：（1）该命题是“p或q”形式，其中

p:2=2; q:2<2;

因为p是真命题,所以原命题是真命题. （2）该命题是“p或q”形式，其中

p:集合A是A∩B的子集;

q:集合A是A∪B的子集;

因为命题q是真命题,所以原命题是真命题. （3）该命题是“p或q

”形式，其中

p:周长相等的两个三角形全等; q:面积相等的两个三角形全等; 因为命题p,q都是假命题,所以原命题是假命题. 例4

写出下列命题的否定,并判断它们的真假:

(1) p: y=sinx是周期函数;

(2) p: 3<2;

(3) p: 空集是集合A的子集. 解：(1) ﹁p : y=sinx不是周期函数，

命题p是真命题, ﹁p

是假命题.

(2) ﹁p

:3≥2,

命题p是假命题, ﹁p

是真命题.

(3) ﹁p :空集不是集合A的子集,

命题p是真命题, ﹁p

是假命题. 五、课堂训练

1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是(

) A．“p∧q”形式的命题

C．“非p”形式的命题

【答案】

A 2．若p是真命题，q是假命题，则(

) B．“p∨q”形式的命题

D．以上说法都不对

A．p∧q是真命题

B．p∨q是假命题

C．非p是真命题

D．非q是真命题

【解析】

根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．

【答案】

D 3．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否定为________．

【答案】

在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角

4．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和非q都是假命题，求x的取值集合．

解：∵非q是假命题，∴q为真命题．

又p∧q为假命题，

∴p为假命题．

因此x2－x<6且x∈Z，

解之得－2

故x＝－1,0,1,2，

所以x取值的集合是{－1,0,1,2}. 5.

指出下列命题的形式及构成它的简单命题：

(1)方程x2－3＝0没有有理根；

(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；

(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．

解：

(1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．

(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．

(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．

6. 指出下列命题的构成形式：

(1)菱形的对角线垂直且平分；

(2)9的算术平方根不是－3；

(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2或x<－1}．

解：

(1)是“p∧q”形式，其中p：菱形的对角形互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；

(2)是“非p”形式，其中p：9的算术平方根是－3；

(3)是“p∨q”的形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．

7. 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“非p”形式的命题，并判断其真假．

(1)p：6是自然数，q：6是偶数；

(2)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；

(3)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．

解：

(1)p∨q：6是自然数或是偶数，真命题．

p∧q：6是自然数且是偶数，真命题．

非p：6不是自然数，假命题．

(2)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．

p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．

非p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．

(3)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．

p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．

非p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．

8. 分别指出下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“非p”形式的真假；

(1)p：3是无理数，q：3是实数；

(2)p：4＞6，p：4＋6≠10.

解：(1)∵p为真命题，q也为真命题．

∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，非p为假命题．

(2)∵p为假命题，q也为假命题．

∴p∨q为假命题，p∧q为假命题，非p为真命题. 9. 已知a＞0且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．

解：y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故0＜a＜1. 曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于

15(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞. 2215又a＞0，∴0＜a＜或a＞. 22

∵p或q为真，∴p，q中至少有一个为真．

又∵p且q为假，∴p，q中至少有一个为假，

∴p，q中必定是一个为真一个为假．

①若p真，q假．

0＜a＜1，则1

5≤a≤且a≠1，221∴≤a＜1. 2②若p假，q真．

a＞1，5则∴a＞. 1520＜a＜2或a＞2，15综上可知，实数a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．

2210.

命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

【解】

设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，

∴－2＜a＜2，

∴命题p中a应满足－2＜a＜2. 函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，

则有5－2a＞1，即a＜2.∴命题q中a应满足a＜2. 又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

－2＜a＜2，(1)若p真q假，则此不等式组无解．

a≥2，a≤－2，或a≥2，(2)若p假q真，则

a＜2，

∴a≤－2. 综上，实数a的取值范围是a≤－2. 六、课堂小结

1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤：

(1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式；

(2)判断其中简单命题p、q的真假；

(3)由真值表判断命题的真假．

2．真值表

p 真

真

假

假

解读真值表

命题形式

“p∨q”

“p∧q”

“非p”

3．命题非p是对命题p的全盘否定，p和非p的真假性相反，要区别于命题p的否命题．逻辑联结词的意义又可结合集合的运算理解，利用p∧q，p∨q，非p形式命题的真假可以得到一些集合的关系，确定其中参数的范围.

规律总结

一真必真

一假必假

真假相反

结论解释

p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题

p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题

p真，则非p假；p假，则非p真

q 真

假

真

假

p∨q 真

真

真

假

p∧q 真

假

假

假

非p

假

假

真

真