小结全国优秀课堂实录

第一课

常用逻辑用语

[核心速填] 1．命题及其关系

(1)判断一个语句是否为命题，关键是：

①为陈述句；

②能判断真假．

(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同．

(3)四种命题之间的关系如图所示．

2．充分条件、必要条件和充要条件

(1)定义

一般地，若p，则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)特征

充分条件与必要条件具有以下两个特征：

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；

②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．

3．含逻辑联结词的命题的真假判断

(1)p∧q：全真才真，一假则假；

(2)p∨q：全假才假，一真则真；

1

(3)﹁p：p与﹁p真假性相反．

4．全称量词与全称命题，存在量词与特殊命题

(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)．

(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示；特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．

5．含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，则﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)．

(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)，则﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．

[体系构建]

[题型探究]

四种命题的关系及其真假判断

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．

(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．

[解]

(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．

2

它的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假) 否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假) 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真) (2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：

逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真) 否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真) 逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真) [规律方法]

1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．

2．“p∧q”的否定是“﹁p或﹁q”，“p∨q”的否定是“﹁p且﹁q”．

[跟踪训练] 1．(1)给出下列三个命题：

①“全等三角形的面积相等”的否命题；

②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；

③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．

其中真命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 B

[对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.] (2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(

)

【导学号：46342039】

A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 D

[命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D.]

3

充分条件、必要条件与充要条件

(1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充分必要条件是a＝__________. [解析]

(1)由acos A＝bcos B⇒sin 2A＝sin 2B，

∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A. (2)由1a2＝3≠6a，

a－2得a＝－1(舍去)，a＝3. [答案]

(1)A

(2)3 [规律方法]

充分条件和必要条件的判断

充分条件和必要条件的判断，针对具体情况，应采取不同的策略，灵活判断.判断时要注意以下两个方面：

(1)注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性

从命题的角度判断充分、必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并指明条件是结论的哪种条件，否则会混淆二者的关系，造成错误. (2)注意转化命题判断，培养思维的灵活性

由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此，对于那些具有否定性的命题，可先转化为它的逆否命题，再进行判断，这种“正难则反”的等价转化思想，应认真领会. [跟踪训练] →→2．(1)已知a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是(

) A．λ1＝λ2＝－1

B．λ1＝λ2＝1 4

C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1 λ1＝λ，→→C

[依题意，A，B，C三点共线⇔AB＝λAC⇔λ1a＋b＝λa＋λλ2b⇔λλ2＝1，故选C．] (2)设p：m＋n /∈Z，q：m /∈Z或n /∈Z，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A

[﹁p：m＋n∈Z，﹁q：m∈Z且n∈Z，显然﹁p⇒/﹁q，﹁q⇒﹁p，即p⇒q，q⇒/p，p是q的充分不必要条件．]

含逻辑联结词的命题

(1)短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为(

) A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名

B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名

D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名

(2)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(

) A．p∧q

C．(﹁p)∧(﹁q) B．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧q

[解析]

(1)(﹁q)∧r是真命题意味着﹁q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.

5

a>0，(2)命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解2Δ＝a－4a<0，得0

命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题．故(﹁p)∧q是真命题．故选D. [答案]

(1)D

(2)D

[规律方法]

1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．

2．判断命题真假的步骤：

确定含有逻辑根据真值表判断判断其中简单联结词的命题→→含有逻辑联结词

命题的真假的构成形式的命题的真假[跟踪训练] π3．(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为2；命题q：函数y＝cos x的π图象关于直线x＝2对称，则下列判断正确的是(

) A．p为真

C．p∧q为假

B．﹁q为假

D．p∨q为真

2ππC

[函数y＝sin 2x的最小正周期为2＝π，故命题p为假命题；直线x＝2不是y＝cos x的图象的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假，故选C．] (2)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是(

)

【导学号：46342040】

A．p或q

C．﹁p且q

B．﹁p或q

D．p且q

B

[命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有﹁p或q为真命题．]

6

全称命题与特称命题

(1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．[e,4] C．(4，＋∞) B．[1,4] D．(－∞，1] (2)命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定﹁p是________．

[思路探究]

(1)p∧q为真⇔p，q都为真．(2)由﹁p的定义写﹁p. [解析]

(1)由p为真得出a≥e，由q为真得出a≤4，

∴e≤a≤4. (2)全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，f(x)≥m”的否定是“∃x0∈R，f(x0)

[答案]

(1)A

(2)∃x0∈R，f(x0)

[规律方法]

全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. 要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可. 要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使p(x0)成立即可，否则这一特称命题为假命题. [跟踪训练] 4．(1)命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题﹁p为(

) A．∃x0<0，x20≥2x0

2C．∃x0<0，x0<2x0

2B．∃x0≥0，x0<2x0

D．∃x0≥0，x20≥2x0

C

[﹁p：∃x0<0，x20<2x0，故选C．] (2)在下列四个命题中，真命题的个数是(

) ①∀x∈R，x2＋x＋3＞0；

11②∀x∈Q，3x2＋2x＋1是有理数；

③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；

④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.

【导学号：46342041】

7

A．1

B．2

C．3

D．4 211111D

[①中，x＋x＋3＝x＋2＋4≥4＞0，故①为真命题；

211②中，∀x∈Q，3x2＋2x＋1一定是有理数，故②也为真命题；

ππ③中，当α＝4，β＝－4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；

④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．]

8