3.1.3 空间向量的数量积运算10分钟试讲教案

3.1.3空间向量的数量积运算教学设计

教学目标：

1.知识与技能：

（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法。

（2）掌握空间向量的数量积的计算方法及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

2.过程与方法：

通过设置问题情境，培养学生判断推断的能力。

3.情感态度与价值观：

通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神。使学生学会认识事物的特殊性与一般性的关系，培养学生善于探索的思维品质。

教学重点：空间数量积的计算方法与立体几何问题的转化。

教学难点：空间数量积与立体几何问题的转化。

教学方法：类比、探究归纳。

教学过程：

一．复***面向量的数量的相关知识：

1. 定义

2. 平面向量的数量积的几何意义

3. 性质

4. 运算律

5. 向量的数量积的坐标运算

6.向量的数量积的应用

二．由平面向量的数量积迁移到空间向量的数量积: （多加一个维度，即加入竖坐标）

1. 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a和b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a||b|cos.

规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.

平面向量的数量积的几何意义：

我们规定|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，当为锐角时，|b|cos为正值；当为钝角时，|b|cos为负值；当=0时，|b|cos|b|；当=90时，|b|cos0；当=180时，|b|cos|b|. ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与

b在a方向上的投影|b|cos的乘积.

3. 性质：

（1）abab0

(2) 当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|.

特别地aa|a|，即|a|a

(3) cos22ab

|a||b|(4) ab|a||b|

4. 运算律

设已知向量a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：

(1) abba(交换律) (2) (a)b(ab)a(b)

(3) (ab)cacbc

5. 向量的数量积的坐标运算

①已知两个非零向量ax1,y1,z1，那abx1x2y1y2z1z2

bx2,y2,z2，222②若ax,y,z

，则aaxyz，ax2y2z2

③若ax1,y1,z1，bx2,y2,z2

则abab0x1x2y1y2z1z20

6.向量的数量积的应用

①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；

②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；

③求夹角问题；

三．讲练结合及学生小组合作讨论: 1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为(

) 137A．1

B.

C.

D.

5552．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．

3．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a、b同向，则x，y的值分别为_______ 【答案】1.D

2.－13

3．x1,y3

主要考查了以下内容：数量积及相关概念

4.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(

) A.1030215310

B.

C.

D.

10101010【解析】选B.建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，

→→B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，

→→BC1·AE30→→cos〈BC1，AE〉＝＝. →→10|BC1|·|AE|所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为

5.如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．

AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值

解析：以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．

又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0 →→→(1)证明

AS＝(x－2，y－2，z)，BS＝(x，y－2，z)，DS＝(x－1，y，z)，→→由|AS|＝|BS|得x－230

10＋y－2＋z2＝x2＋y－2＋z2，故x＝1. →由|DS|＝1得y2＋z2＝1，

→又由|BS|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，

13即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝，z＝. 2213→33→3313→于是S1，，，AS＝－1，－，，BS＝1，－，，DS＝0，，，

22222222→→→→DS·AS＝0，DS·BS＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB. →→→→(2)解

设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥BS，a⊥CB，∴a·BS＝0，a·CB＝0.

33→→又BS＝1，－，，CB＝(0,2,0)，

22m－3n＋3p＝0，22故取p＝2得a＝(－3，0,2)．

2n＝0.→又AB＝(－2,0,0)，

→AB·a21→cos〈AB，a〉＝＝. →7|AB|·|a|21

7

总结：直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来故AB与平面SBC所成角的正弦值为判断．证明的主要思路是：

(1)证明线线平行：可证两条直线的方向向量共线；

(2)证明线面平行：①证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，②证明直线的方向向量可用平面内的两个不共线向量线性表示；

(3)证明面面平行：可证两个平面的法向量共线；

(4)证明线线垂直：可证两条直线的方向向量垂直；

(5)证明线面垂直：①证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直，②证明直线的方向向量与平面的法向量共线；

(6)证明面面垂直：可证两个平面的法向量互相垂直

6.已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，

边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE

提示：利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．

(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．

则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．

l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．

(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.

解析：依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．

33∵F为CD的中点，∴Fa，a，0. 2233(1)易知，AF＝a，a，0，BE＝(a，3a，a)，BC＝(2a,0，22－a)，

1∵AF＝(BE＋BC)，AF⊄平面BCE，

2∴AF∥平面BCE. 33(2)∵AF＝a，a，0，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)，

22∴AF·CD＝0，AF·ED＝0，

∴AF⊥CD，AF⊥ED，即AF⊥CD，AF⊥ED. 又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE. 又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

四.总结：

1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．

2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：

(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的a＝0，n·法向量，则求法向量的方程组为

n·b＝0.

五.作业：如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．

(1)求证：BM∥平面D1AC；

(2)求证：D1O⊥平面AB1C.