1.2.1 充要条件教学设计内容推荐

1.2.1分条件与必要条件

(一)教学目标 1.知识与技能目标：

（１）

正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（２）

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

（三）教学过程

一.复习引入

充分条件与必要条件的定义

二.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

三.归纳总结：

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q 

p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

四.抽象概括

充要条件

(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

注意：

1．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．

2．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．

五.例题分析及练习

[例1]

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.

(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0. [思路点拨]

首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．

[精解详析]

(1)在△ABC中，

显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，

但￢p⇒/

￢q，所以p是q的充分不必要条件．

(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/

q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/

p，

所以p是q的既不充分也不必要条件．

(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．

[感悟体会]

(1)若p⇒q且q⇒/

p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/

q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/

q且q⇒/

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．

训练题组1 1．下列命题中，p是q的充分条件的是(

) A．p：a＝0，q：ab＝0

B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0

C．p：x2>1，q：x>1

D．p：a>b，q：a>b

解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；

对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；

对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；

对D，当a>b>0时，有a>b，

而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q. 答案：A

2．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故φ＝0是函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．

答案：A 3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．

(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；

(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. a2＋c2－b2解：(1)△ABC中，∵b>a＋c，∴cos B＝<0，

2ac222∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形．反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2

(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p⇒/ q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q.若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，所以p是q的充要条件. [例2]

已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

[思路点拨]

解决本题可先求出命题p和q成立的条件，再得到￢p，利用￢p是￢q的必要不充分条件，即￢q⇒￢p求出a的取值范围，或利用等价条件p⇒q求得a. [精解详析]

由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a

3a≥－2，22∵￢q⇒￢p，∴p⇒q.∴a≤3，⇒－≤a<0，∴a的取值范围是[－，0)．

33a<0[感悟体会]

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

训练题组2 x－14．集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|

值范围是(

) A．[－2,0)

B．(0,2]

C．(－2,2)

D．[－2,2] 解析：A＝{x|x－1<0}＝{x|－10，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

解：不等式x2－8x－20>0的解集为A＝{x|x>10或x<－2}；

不等式x2－2x＋1－a2>0的解集为B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．

依题意p⇒q但q⇒/ p，说明AB. a>0，于是有1＋a≤10，1－a>－2

a>0，或1＋a<10，解得0

[例3]

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. [思路点拨]

证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什么，然后证明p⇒q(充分性)和q⇒p(必要性)成立．

[精解详析]

充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得

ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. [感悟体会]

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q.若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

训练题组3 6．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. c证明：必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，ax2为方程的两根)，所以ac<0. c充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋a

bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

7．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

1解：当a＝0时，x＝－符合题意．当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1. 221因为f(0)＝1>0，∴若a>0时，则－<0，>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0

aa1若a<0，则<0，Δ＝4－4a>0，方程恒有两异号实数根．综上所述，a≤1为所求．

a六.课堂小结与归纳

1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：

(1)定义法(直接法). 条件p与结论q的关系

p⇒q，但q⇒/ p q⇒p，但p⇒/ q p⇒q，q⇒p，即p⇔q p⇒/ q，q⇒/ p

(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p，q对应的集合分别为A，B. 若AB，则p是q的充分不必要条件

若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．

2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．

七.当堂训练

1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

结论

p是q成立的充分不必要条件

p是q成立的必要不充分条件

p是q成立的充要条件

p是q成立的既不充分也不必要条件

解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．

答案：B 2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的

(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分又不必要条件

解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2. 答案：A 3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(

) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，

所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．

综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

答案：A 4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由已知得￢p：－1≤x≤1，￢q：－2≤x≤1，所以￢p是￢q的充分不必要条件．

答案：A 5．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．

解析：直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离|1＋1＋m|等于2⇔＝2⇔|m＋2|＝2⇔m＝－4或0. 2答案：m＝－4或0 6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．

解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B.

又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1. 证明：充分性：当q＝－1时，a1＝p－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

－当n＝1时，上式也成立．

an＋1pnp－于是＝anpn－1p－＝p，即数列{an}为等比数列．

必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

－∵p≠0且p≠1，

an＋1pnp－∴＝anpn－1p－＝p. 因为{an}为等比数列，

pp－a2an＋1所以＝＝p＝a1anp＋q，∴q＝－1，

即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.