1.1.2 四种命题优秀教学设计

1.1.2四种命题

教学准备 1.

教学目标 1.知识与技能

（1）初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式．

（2）初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

（2）培养学生抽象概括能力和思维能力．

2．过程与方法

（1）培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力．

（2）培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

2.

教学重点/难点 重点：四种命题之间相互的关系．

难点：正确区分命题的否定形式及否命题．

3.

教学用具 多媒体

4.

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教学过程 一、问题导思

给出以下四个命题：

（1）对顶角相等；

（2）相等的两个角是对顶角；

（3）不是对顶角的两个角不相等；

（4）不相等的两个角不是对顶角．

1．你能说出命题（1）与（2）的条件与结论有什么关系吗？

【提示】它们的条件和结论恰好互换了．

2．命题（1）与（3）的条件与结论有什么关系？命题（1）与（4）呢？

【提示】命题（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．

知识点1

四种命题的概念

1．对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：

（1）原命题：如果p，则q （2）逆命题：如果q，则p(“换位”) （3）否命题：如果非p，则非q(“换质”) （4）逆否命题：如果非q，则非p(“换位”又“换质”) 知识点2

四种命题的关系

1.四种命题的相互关系

2．四种命题的真假性关系

（1）在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.

二、典例精讲

题型1

四种命题的概念

例1.把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：

（1）正数的平方根不等于0；

（2）当x＝2时，x2x60

【解析】

（1）原命题：“如果a是正数，则a的平方根不等于0”．

逆命题：“如果a的平方根不等于0，则a是正数”．

否命题：“如果a不是正数，则a的平方根等于0”．

逆否命题：“如果a的平方根等于0，则a不是正数”．

（2）原命题：“如果x＝2，则x2x60”．

逆命题：“如果x2x60，则x＝2”．

否命题：“如果x≠2，则x2x60”．

逆否命题：“如果x2x60，则x≠2”．

【小结】写已知命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

【变式训练】

（1）对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( ) A．逆命题为“单调函数不是周期函数”

B．否命题为“周期函数是单调函数”

C．逆否命题为“单调函数是周期函数”

D．以上三者都不对

（2）命题“若α＝则tan α＝1”的逆否命题是______．

【解析】

（1）周期函数不是单调函数的逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A错．否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B错．逆否命题为“单调函数不是周期函数，C错，所以选D. （2）根据逆否命题的定义可知命题“若α＝则tan α＝1”的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠

【答案】

（1）D （2）若tan α≠1，则α≠

题型2

四种命题的关系

例2：下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中的真命题是__________．

【解析】①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2bc2”，是假命题．

所以真命题是①②③. 【答案】①②③

【小结】要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．

三、变式训练

有下列四个命题：

①“若b＝3，则b29”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若c＜1，则x22xc0有实根”的逆命题；

④“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题的个数是________．

【解析】

①若b＝3，则b2＝9的逆命题为，若b2＝9，则b＝3，所以错误．②全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，错误．③x22xc0有实根，则有Δ＝4－4c≥0，即c≤1，当c≤1时，c＜1不成立，所以错误．④若A∩B＝A，则A⊆B，正确，所以它的逆否命题也正确，所以正确的有1个．

【答案】

1 题型3

等价命题的应用

例3.已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋bb≥0. 【证明】

假设a＋b＜0，则a＜－b. ∵f(x)在R上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．

∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．

即f(a)＋f(b)＜0. ∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真. 【小结】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．

四、变式训练

“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．

【解】∵a，x∈R，且x2(2a1)xa220的解集是空集．

∴(2a1)24(a22)0，则4a－7＜0，解得a＜

因此a＜2，原命题是真命题．

又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.

五、当堂检测

1．命题“若x与y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，是x与y都不是偶数

【解析】

由于“x与y都是偶数”的否定是“x与y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数．”

【答案】

C 2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

【解析】

否命题既否定题设又否定结论，故选B. 【答案】

B 3．给出以下命题：

①“若x2y20，则x、y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2xm0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是________．

解析：

①否命题是“若x2y20，则x，y全为0”．真命题．

②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．

③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2xm0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．

答案

①③

4．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2bxc0无解”．

（1）写出命题p的否命题；

（2）判断命题p的否命题的真假．

【解】

（1）命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2bxc0有解”．

（2）命题p的否命题是真命题．

判断如下：因为ac＜0，所以－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c＞0有解，所以该命题是真命题.

课堂小结 1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

（1）找出命题的条件p和结论q；

（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

（3）按照四种命题的结构写出所有命题．

2．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.

板书 1.1.2四种命题及其关系