3.1.1 空间向量及其加减运算公开课教学设计模版

3.1.1空间向量及其运算 第一课时

一、知识网络：

空间向量的加减运算

空间向量及其运算

空间向量的数乘运算

共线向量定理

共面向量定理

空间向量与立体几何

空间向量的数量积运算

空间向量基本定理

平行与垂直的条件

空间向量的坐标运算

立体几何中的向量方法

向量夹角与距离

直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角

求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

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讲授新课

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理；

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法

三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。

1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率



OBOAABab

BAOAOBab

OPa(R)

B

C 加法交换率：abba.

加法结合率：(ab)ca(bc).

b

数乘分配率：(ab)ab.

O

a

A

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫aa做共线向量或平行向量。平行于b记作∥b。

 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数使b＝a

（1）对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，Al，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果

l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OPOAta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取ABa，则①式可化为 OP(1t)OAtOB.②

2 / 5

1时，点P是线段AB的中点，则 OP1(OAOB). ③

22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在平面内，我们就说向量a平行于平面，记作a∥。注意：向量a∥与直线a∥的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、当ty，使pxayb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

MPxMAyMB,④

或对空间任一定点O，有OPOMxMAyMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵MAOAOM,.MBOBOM,.代入⑤，整理得

OP(1xy)OMxOAyOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使pxaybzc.

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是aca，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，b，c}bp|pxaybzc,x、y、zR叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OPxOAyOBzOC.

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b

A a说明：⑴规定0≤a，b≤,因而a，b=b，a；

⑵如果a，b=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=OA,OB，

图（2）中∠AOB=AO,OB, 从而有OA,OB=OA,OB=OA,OB. A aO a（1）

B aO a（2）

B a3 / 5

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：abcosa,b叫做向量a、b的数量积，记作ab。

即ab=abcosa,b，

向量AB在e方向上的正射影: ae|AB|cosa,eAB

B ⑴aecosa,e。⑴(a)b(ab)

⑵a⊥bab=0⑵ab=ba

⑶|a|2aa.⑶a(bc)abac

（4）性质与运算率

e

A A

B

l （三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）。(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若D1A1DABMB1CC1ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

111111abcabcabc(D)(A)(B)(C)22222211abc

22111abc；答案为A。

(ADAB)AA1解析：显然BMBB1B1M222点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例3、已知：a3m2n4p0,b(x1)m8n2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求x,y的值. 解：a∥b,,且a0,ba,即(x1)m8n2yp3m2n4p.

x182y,x13,y8.

又m,n,p不共面,324点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.

证明：记ABa,ACb,AA1c,则AB1ac,DBABADa11b,DC1DCCC1bc22∴DBDC1acAB1,∴AB1,DB,DC1共面.

∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.

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（四）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AFADxAByAA1，求x－y的值.

解：易求得xy,xy0

在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中2、AC与B1M相等的向量是

(A )。

BA．1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c

2222D．1a1b＋c

2212C．1a1b＋c 22

A D B C M是侧

棱CC1的中点，则3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，异面直线AB1和BM所成的角的大是。解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA,BB1,BC}，则AB1BB1BA,BMBC1BB1

21BB1)022020，故填写90o。

225cosAB1,BM(BB1BA)(BC225（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝ab． 4．异面直ab线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝则点P到平面α的距离是d＝|CDn||n||PoPn||n|（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3 五、教学反思：

.5．设平面α的一个法向量为n，点P是平面α外一点，且Po∈α，.

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