习题2.3教学内容分析

教学设计方案

让学生在问题对比、知识形成中自主学习，自主发展

课题名称

——课例：§8.4.1 双曲线的简单几何性质（一）

吴素利

高二数学

工作单位

教材版本

河北衡水中学

人教版A 姓名

年级学科

一、教学内容分析

继椭圆的标准方程和简单几何性质后，本课采用类比的方法，结合双曲线的标准方程，研究双曲线的简单几何性质，渗透数形结合这一重要的数学思想。内容涉及：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率等。按照学生认知的特点，首先创造情境，引发学生学习的兴趣和求知的渴望，循序渐进的进行自主探讨学习。

二、教学目标

（一）

知识：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率。

（二）

能力：1.使学生理解双曲线的范围、对称性（对称轴、对称中心）、顶点（截距）、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率；2. 使学生理解双曲线的对称性，明确标准方程所表示的双曲线的对称轴、对称中心；3. 使学生理解双曲线的渐近线的定义，掌握双曲线的渐近线的方程，并能利用双曲线的渐近线较准确的画出双曲线的草图；4. 使学生掌握离心率的定义及几何性质。

（三）

德育：渗透数形结合这一重要的数学思想，通过数与形的有机练习、辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育；通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求；让学生在探索知识中去品尝合作的愉快、竞争的斗志、学习的乐趣。

（四）

重点：双曲线的简单几何性质及其简单几何性质的探索过程。

难点：利用双曲线方程研究其简单几何性质的方法和探索过程，双曲线的渐近线的证明。

三、学习者特征分析

继椭圆的标准方程和简单几何性质后，本课采用类比的方法，结合双曲线的标准方程，研究双曲线的简单几何性质，渗透数形结合这一重要的数学思想。内容涉及：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率等。按照学生认知的特点，首先创造情境，引发学生学习的兴趣和求知的渴望，循序渐进的进行自主探讨学习。

四、教学过程

借助多媒体课件及实物投影仪，首先创设情境，引发学生学习的兴趣和求知的渴望，然后引导学生观察、分析、猜测、探讨，教师适当的点拨和动画演示，化解难点，汇总学生的成果。最后教师总结并及时反馈练习。课前两分钟预备铃响后，演示战争画面。老师介绍：抗美援朝战争中，我炮兵向敌军阵地炮击不久，美军即会把炮弹较准确的击中我军阵地，我军只能打几炮就得转移，这是因为我们的志愿军不懂得：若敌军设有三个观察站，根据声音传播速度和时间差，就能利用双曲线知识较准确的推算出我军阵地位置；就在今天，日本擅自篡改历史，也因我国军事实力较弱，所以我们有责任学好数学。（这时，全体学生期待的眼神盼望着上课。）

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

师：我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，

目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在

火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，

其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”

是怎样建成的呢？

师：如果我给出炮弹的轨道方程，你能画出炮弹飞行的路线吗？这个问题涉及数学上的什么问题？

师：有什么方法可以帮助你画图？

生：能。这个问题是由曲线方程画图形。具体的说，由双曲线的方程画双曲线。

生：描点法。

生：费时费力。

基于对椭圆的学习，学生不假思索地回答：研究双曲线的方程！

的兴趣和1.创设情境，激发学生学习预设学生活动

设计意图

师：谁愿意展示一下你预习的成果？

同学们争先恐后，老师通过实物投影仪展示，师生共同纠正作图中存在的问题。

师：作图过程中有何体会？

师：如何简单一点？

老师不失时机地说：你们的知识迁移意识和能力非常好，这说明了同学们已经对椭圆的知识和研究方法有了较深的理解。

学生得到了老师鼓励更是群情激昂。

求知的渴望

x2y2师：下面，我们就从双曲线的方程221入手，ab一起研究双曲线的简单几何性质。（书写课题）

生：关于x轴、y轴、原点都对称。在双曲线上任取一点(x,y)，则分知识的探与成师生主露有范围，

作索形过诱自探思交x2y2（1）对称性（课件展示221的图形）

ab师：直观感觉上，我们能发现双曲线在四个象限有怎样的位置关系？你能证明吗？

老师做思考的表情，用期待与鼓励的眼神在同学们中间巡视。激发学生积极思考和勇于回答问题的意识。

师：，非常正确，很全面。椭圆也有相同性质，这说明双曲线——（声音拉长，等待学生的回答，时刻关注着学生）既是轴对称图形，又是中心对称图形，它也是有心曲线。

（2）顶点

x2y2别把 (x,-y) 、(-x,y)、(-x,-y)代入方程221，方程仍然成立。ab由曲线方程的定义得知：这三个点也都在双曲线上。所以说明双曲线关于x轴、y轴、原点都对称。

生：与坐标轴有两个交点？

生：令y=0, 得x=±a，即A1(a,0),A2(a,0)生：椭圆与x轴、y轴各有两个交点。

生：夹在双曲线的两支间的一个矩形! 生：双曲线程:教导，学究，暴维，合

师：（课件展示xy1的图形）直观感觉上，a2b222a(,a][a,),yR 。

生1:根据图形（实物投影仪展示）, 我能看出来，证明…(该生有些不好

意思的挠了挠头.).

生2: 平方差等于1,说明被减数不小于1, 从而解不等式可得x(,a][a,),yR. 生1：当a不变时，b变大，则e变大，这时

发现双曲线的开口变得开阔; 当a不变时，b 变小，则e变小，这时发现双曲线的开口变得

狭窄。

生2：当b不变时，a变大，则e变小，这时

发现双曲线的开口变得狭窄; 当b不变时，a 变小，则e变大，这时发现双曲线的开口变得

开阔。

生3：无论e变大，还是e变小，双曲线都是

无2流，展示果

成我们能发现双曲线与坐标轴还有什么关系？

师：你能求出坐标吗？

师：很好。这两个点是双曲线与对称轴——坐标轴x轴的交点，与y轴没有交点。这与椭圆有何区别？

师：对。但是，请同学们注意：双曲线与y轴虽然没有交点，但是我们也把B1(0,b),B2(0,b)画在y轴上，（课件演示）. 及时强调顶点的定义，结合图形给出实轴、虚轴、实轴长、虚轴长、实半轴长、虚半轴长，指明方程中a,b的几何意义。

师：若过A1(a,0),A2(a,0)分别做y轴平行线，过（拉B1(0,b),B2(0,b)分别做x轴的平行线,发现——长声音，等待学生的回答）

师：根据对椭圆的学习，这能说明什么问题：

师：完全正确。你如何得证？

给学生动脑思考，动手实践、积极探索的时间和空间，体现数学中的过程教学，而非只要结果；同时也是把学生放在了学习的主体地位。

（3）范围

师:好.你的观察能力很好.我们想从理论上加以证明.限的接生3: y2x(12)a2a2x(,a][a,),yR

b生4:利用同名三角函数的基本关系式得:

x1ysec,tan得x（,a][a,),yR acosb

请你坐下继续思考. 师:很好.其他同学还有不同的见解吗? 生23: x2生5:当yb函数的定义域x(,a][a,)和1时，2ay2x222x(12)aax(,a][a,),值y域Ry0；由双曲线的对称性，yb21函数的定义域ba

师:也不错.还有其他思路吗? 生4:利用同名三角函数的基本关系式得:

x(,a][a,)和值域y0。所以，x2y221中2abx(,a][a,),yR。

x1ysec,tan得x（,a][a,),yR生1：当a不变时，b变大，则e变大，这时发现双曲线的开口变得开acosb 师:这种解法也很好.还有不同意见吗? 学生们见老师还在一步步的追问,紧锁双眉陷入了沉思中：一些常见的思维方位和角度已经全揭晓了，还有….老师这时慢慢地说:方程对应的图形在某种特殊情况下就是函数对应的图象,图象的位置或说范围可以由函数的——

这时学生们先是若有所思，紧接着恍然大悟，一个学生迫不及待地站起来…

阔; 当a不变时，b变小，则e变小，这时发现双曲线的开口变得狭窄。

生2：当b不变时，a变大，则e变小，这时发现双曲线的开口变得狭窄; 当b不

近两条对角线所在直线。

生4：双曲线被夹在两条相交直线的一对对顶角内。

生：由双曲线的对称性，只需在双曲线的第一象限中的部分任取一点，过此点分别做渐近线和x轴的垂线，在第一象限中得到的两个垂足与此点构成一个三角形，由直角边与斜边的关系可得。

师：想法非常好，而且阐述的也很有条理。下面，我们借助电脑先生看一2生5:当ybx12a下具体过程。（用课件演示证明过程，详见教材）

时，函数的定义域师：利用双曲线的渐近线,可以帮助我们较准确的画出双曲线的草图。（课件演示过程）

x(,a][a,)和值域y0；由双曲线的对

称性，x2yb21a

函数的定义域

x(,a][a,)和值域y0。所以，

x2y221中x(,a][a,),yR。

2ab同学们不由自主的为这位同学鼓掌。

师：太棒了！紧接着，教师又提出了问题：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.仔细观察课件，（演示动态课件，改变矩形的形状），你能发现双曲线形状与双曲线的离心率以及矩形的对角线有什么关系？同学们先自己思考，必要时可小组讨论。

同学们陷入了沉思，这在椭圆学习中是不具备的知识。一会儿，同学们的脸上有的表情放松了，露出了笑意，有的眉头皱的更紧了。老师走入学生中间……

师：哪位同学说说自己的见解？

师：完全正确。这些说明了双曲线与离心率和渐近线的关系等。（教师归纳并强调）双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，离心率大于1。当离心率越大时，双曲线的张口越大，两条对角线所在直线越陡。而且双曲线无限的逼近两条对角线所在直线，但永远不能相交。这两条直线叫做双曲线的渐近线。

实物投影仪展示同学们画的图形，然后老师动画演示离心率与双曲线的开口大小的变化关系。老师进一步的追

问：直观上如此，理论上我们如何证明双曲线无限的逼近渐近线呢？以小组为单位讨论。

学生又进入了积极的探索中。1分钟后…

例1. 求双曲线9y2

16x2144的顶点、实轴长、虚轴长、焦点、离心率、渐近线方程。

师：要解决这个问题，应从哪个方面入手？

师：追问——为什么？

师：很精辟。请同学们完成解答过程。

实物投影仪展示学生的过程，给予适当点评。

师：根据双曲线的标准方程求渐近线方程的方法你能归纳一下吗？

师：若知双曲线的渐近线方程，能确定双曲线的标准方程吗？为什么？生：不能。因为确定不了焦点位置，只能得到a、b的比例关系。

师：非常正确。这说明在求双曲线问题时一定要注意焦点位置。这与椭圆相关知识一致。

例2. 如果双曲线虚轴的一个端点与两个顶点构成正三角形。

求双曲线的离心率。

师：如何分析、解决此题？

师：很好。

生：把方程等价转化为标准方程。

生：因为这样可以看清焦点在哪个坐标轴上，而这正是本题求解的问题所必须的。这与椭圆相关知识一致。

生1：将双曲线的标准方程等号一边的1改写为0，则此二元二次方程表示的曲线正好是双曲线的渐近线。

生2：画出以双曲线的实

轴、虚轴为邻边的矩形，写出其对角线方程，即为两条渐近线方程。

生：明确基本概念，画出草图，立即可得。

知识反馈：知识的巩固与创新应用

六、教学评价设计

直观、生动。知识的形成自然。借助电脑先生看一下具体过程。用课件演示证明过程。

借助多媒体课件及实物投影仪，首先创设情境，引发学生学习的兴趣和求知的渴望，然后引导学生观察、分析、猜测、探讨，

教师适当的点拨和动画演示，化解难点，汇总学生的成果.效果很好。

七、教学板书

双曲线的标准方程

x2y221

2ab

y2x221

2ab

图形

范围

对称性

顶点

离心率

渐近线

字母中的不变量关系

例题1 : 例题2:

八、教学反思

(1)

依托教材,走出教材:合理大胆的对教材进行整合,对知识的探索与知识的形成更符合学生的认知***，更大的调动学生主动参与、主动探索、主动学习、合作讨论的积极性，使师生充分的互动，让学生动起来，课堂活起来。

(2)

点拨、总结到位，激励表扬学生适时，师生合作，学习中学生占主体地位，享有主动权。真正实现了师为学服务，学为主导的全新局面。

(3)

注重在平时的教学中渗透教学方法，恰当的运用多媒体这一教学辅助手段。

感悟：在传统的教学模式禁锢下，学生在数学课上处于被动、消极、受压抑的地位，课堂气氛死气沉沉，学生的智能不仅得不到发展，就连表现自己的机会都争取不到。因此必须打破传统的教学格局，构建适应时代发展需要的新型数学教学模式。在课堂教学中，我认为开展以“自主学习、自主发展”的教学模式，无疑对实现学生认知的深化和建构，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，培养学生科学的探索精神和创造能力是大有裨益的。