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空间向量与立体几何小结

一.教学目标

1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行,垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行,垂直关系的立体几何问题;掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题

2.过程与方法：通过用向量方法解决立体几何中的平行,垂直问题的过程，通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题,体会向量运算的几何意义．

3.情感、态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．

二.教学重点与难点

重点：用向量方法判断有关直线和平面平行,垂直关系问题．掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题

难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行,垂直关系的问题．掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题. 三.教学过程

(一)要点回顾:空间向量的概念及其运算

空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展．

→→→例1.已知在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，→等于(

) 且OM＝2MA，N为BC中点，则MN121A.2a－3b＋2c

111C.2a＋2b－2c

211B．－3a＋2b＋2c

221D.3a＋3b－2c

→＝a－2c，CD→＝5a＋6b－8c，（巩固训练）如图，已知空间四边形ABCD中，AB

→对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝______(用向量a，b，c表示)．

【答案】：3a＋3b－5c

例2.

已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．

【答案】：0 （巩固训练）已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是(

) A．(1，1，1)

C．(2，－3，5)

B．(－2，－3，5) D．(－4，6，－2)[来源:Zxxk.Com]

(二) 知识的应用:技巧探究,题型整合

1.利用空间向量证明平行关系

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法．

方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．

方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．

方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．

2.利用空间向量证明垂直关系

垂直关系有线线垂直、线面垂直和面面垂直等．利用向量垂直的充要条件可直接证明线线垂直，线面垂直和面面垂直一般都可转化为线线垂直来证明。

证明线面垂直的方法：

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

利用空间向量证明面面垂直的方法．

(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题；

(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

3.利用空间向量求线面角

斜线的方向向量与平面的法向量的夹角要利用直角三角形才转化为斜线与平面的夹角

4.利用空间向量求二面角

5.利用空间向量求空间距离

点P到平面α的距离，就是P与平面内任一点A的向量，在法向量n上的投→|PA·n|影的绝对值，即d＝|n|. 例3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．

6.利用空间向量解决探索性问题

探索性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过代数式的运算就可得出相应的结论．这

样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．

(三)课时小结:归纳整理、提高认识