3.4 生活中的优化问题举例课程导入

§3.4生活中的优化问题举例

福清龙西中学 杨文福

【教学目标】[来源:学#科#网]

1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；

2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标

教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

①

是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

②“汽油的使用率最高”的含义是什么？

通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨

（1）提出概念

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

（2）引导探究

例1．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值. 探究：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？

1

解：设版心的高为xdm，则版心的宽128dm，此时四周空白面积为2dm1dm1dmx128S(x)(x4)(2)128x5122x8 (x0)x512S'(x)22x2dm

512512S(x)2x8，S'(x)22xx令S'(x)0可解得x16（x-16舍去）当x(当x(时，Sx时，S'x'01∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点∴当x=16，即当版心高为16dm，宽为8dm时，S(x)最小答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的空白面积最小。解法二：由解法(一)得S(x)2x512512822x8xx232872当且仅当2x此时宽为512,即x16(x0)时S取最小值x128816答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的空白面积最小。2

求最大（最小）值应用题的一般方法：

⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；

⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；

⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小，

结合实际，确定最值或最值点．

练习、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：133yxx8(0

12800080（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

1002.5 (小时)，

解：(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了4013340408)2.517.5错误！未找到引用源。耗油量为(12800080（升）．

答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100错误！未找到引用源。x小时. 设耗油量为h（x）升，依题意得，213100x800153h(x)(xx8)(0x120)错12800080x1280x4误！未找到引用源。，

33x800x80h'(x)2(0x120)

2640x640x令错误！未找到引用源。=0，得x=80. 当x∈（0，80）时，错误！未找到引用源。＜0，h(x)是减函数；

当x∈（80，120]时，错误！未找到引用源。＞0，h（x）是增函数．所以当x=80时，h(80)=11.5错误！未找到引用源。．

3

答：当汽车以80千米/时的速度行驶时，耗油最少，最少约为11.5升．

例2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解：设箱底边长为xcm，则箱高hx

_

x 60

x _x

_

60

60x，

2_60x2x3箱子容积V(x)xh(0＜x＜60)．22[来源学&科&网Z&X&X&K]

V'(x)60x323x令V'(x)60xx20,

22[来源学科网Z|X|X|K]解得

x0

(不合题意，舍去)

x40,并求得

V(40)16000.

由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．

在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使

f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．

这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．

（四）课堂总结

[来源:Zxxk.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

4

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

【作业布置】

1《优化》第23页例1，第24页随堂2，课后2,6 2.布置预习：小结

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