习题4.2第二课时教案

直线与圆

1．[2015·广东卷改编] 平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是____________．

2．[2015·湖南卷] 若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．

x2y23．[2015·全国卷Ⅰ] 一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则164该圆的标准方程为______________．

4．[2015·全国卷Ⅱ改编] 过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝________．

5．[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．

6．[2015·山东卷改编] 一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________．

7．[2015·重庆卷改编] 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．

8．[2014·湖南卷改编] 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________．

9．[2014·山东卷] 圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为____________．

10．[2015·湖南卷改编] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标→→→为(2，0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为________．

考点一

直线的方程及应用

题型：选择、填空、解答

分值：占有一定的分值

难度：中等

热点：与圆、圆锥曲线综合，在各种题型中均有

1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以△ABC的边AB，AC向外作正方形ABEF与ACGH，如图13-1所示，则直线FH的一般式方程为__________________．

图13-1

[小结] 确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线所过的一个点，只要这两个要素确定了，直线就完全确定了．在解析几何里用的最广泛的就是直线方程的点斜式，即使是我们知道了直线过两个点，往往也是先求出直线的斜率，再使用点斜式方程求出直线方程．

式题

(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于→→点P，且2PA＝PB，则直线l的方程为____________．

(2)已知点A(2，0)，B(－2，4)，C(5，8)，若线段AB和CD有相同的中垂线，则点D的坐标是(

) A.(－4，－5)

B.(7，6)

C.(－5，－4)

D.(6，7)

考点二

圆的方程及应用

题型：选择、填空、解答

分值：5分

难度：中等

热点：求圆的方程，在解答题中与圆锥曲线综合考查圆的方程和性质的应用

2 (1)已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(

) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)[2015·湖北卷] 如图13-2，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

图13-2 (ⅰ)圆C的标准方程为________．

．．(ⅱ)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：

①|NA||MA||NB||MA||NB||MA|＝；②－＝2；③＋＝2 2. |NB||MB||NA||MB||NA||MB|其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

[小结] 求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径．

式题

已知⊙O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是__________．

考点三

直线与圆、圆与圆的位置关系

题型：选择、填空、解答

分值：5分不等

难度：中等

热点：直线、圆、圆锥曲线的综合

3 (1)已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为__________．

(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－a，1)，B(a，－1)，且a>0，若圆C上存在点

P，使得∠APB＝90°，则a的最大值为(

) A．6

B.35 C．2 6

D．5

[小结] 直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．解决的方法：一是根据平面几何知识把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示出来，即如果圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，则圆被直线所截得的弦长l＝2 r2－d2，这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．

→→式题

(1)O为坐标原点，A，B为曲线y＝x上的两个不同点，若OA·OB＝6，则直线AB

4与圆x2＋y2＝的位置关系是(

) 9A．相交

B．相离

C．相交或相切

D．相切或相离

x－y＋2≥0，(2)过平面区域y＋2≥0，内一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，x＋y＋2≤0记∠APB＝α，则当α最小时，cos α的值为(

) A.C.9519

B.

102091

D.

102

参考答案

■

核心知识聚焦

1．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

[解析] 设所求直线方程为2x＋y＋m＝0，则圆心到该直线的距离为|m|＝5，∴|m|＝5，即m＝±5. 22＋1|0－0＋5|32＋（－4）2＝2．2

[解析] 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝r1，又△OAB的顶点O到AB边的距离d＝rsin 30°＝＝1，所以r＝2. 2325x－＋y2＝

[解析] 设圆心为(t，0)(t>0)，则半径为4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得3.24322253t＝，所以圆的标准方程为x－2＋y＝. 244．4 6

[解析] 方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A(1，3)，B(4，2D＋3E＋F＋10＝0，D＝－2，2)，C(1，－7)的坐标代入得方程组4D＋2E＋F＋20＝0，解得E＝4，所以圆的方程为x2＋D－7E＋F＋50＝0，F＝－20，y2－2x＋4y－20＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝25，所以|MN|＝2 25－1＝4 6. 1方法二：因为kAB＝－，kBC＝3，所以kABkBC＝－1，所以AB⊥BC，所以△ABC为直角三角31形，所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1，－2)，半径r＝|AC|＝5，所以|MN|＝225－1＝24 6. →→方法三：由AB·BC＝0得AB⊥BC，下同方法二．

5．(x－1)2＋y2＝2

[解析] 由直线mx－y－2m－1＝0得m(x－2)－(y＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 436．－或－

[解析] 设反射光线所在直线的斜率为k，反射光线过点(－2，－3)关于y轴34的对称点(2，－3)，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)．

又∵其与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴|－3k－2－2k－3|43＝1，解得k＝－或k＝－. 341＋k27．6

[解析] 由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，故圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6. 8．9

[解析] 依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝32＋42＝5.又r1＝1，r2＝25－m，由r1＋r2＝25－m＋1＝5，解得m＝9. 9．(x－2)2＋(y－1)2＝4

[解析] 因为圆心在直线x－2y＝0上，所以可设圆心坐标为(2b，b)．又圆C与y轴的正半轴相切，所以b>0，圆的半径是2b.由勾股定理可得b2＋(3)2＝4b2，解得b＝±1.又因为b>0，所以b＝1，所以圆C的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C的标准方

程是(x－2)2＋(y－1)2＝4. →→10．7

[解析] 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以PA＋PC→→→→→→→→→→→→＝2PO＝(－4，0)，|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|≤2|PO|＋|PB|.又|PB|≤|PO|＋1＝3，所以|PA＋PB→＋PC|≤4＋3＝7. 方法二：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以可令A(cos x，sin x)，B(cos(x＋α)，sin(x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，

→→→则PA＋PB＋PC＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，

→→→|PA＋PB＋PC|＝[cos（x＋α）－6]2＋sin2（x＋α）＝37－12cos（x＋α）≤7. ■

考点考向探究

1例1

x＋4y－14＝0

[解析] 易知直线AC的斜率为－2，故AH的斜率为，所以AH的方211程为y＝x＋2，故可设点Hx1，x1＋2，则|AH|＝223)．

2同理AF：y＝－x＋2，设F(x2，－x2＋2)，则|AF|＝x22，x2<0，解得x2＝－2，2＋x2＝2 即F(－2，4)，

12x21＋x1＝5，x1>0，解得x1＝2，即H(2，4所以直线FH的斜率k＝3－41＝－，

42－（－2）1故其方程为y－3＝－(x－2)，即x＋4y－14＝0. 4变式题

(1)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0

(2)D [解析] (1)已知条件即为点P到圆心的距离等于圆的半径的3倍．设P(0，b)，则(0－3)2＋(b－5)2＝(3 5)2，解得b＝－1或b＝11. 当b＝－1时，直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0；

当b＝11时，直线l的斜率为－2，此时直线l的方程为y＝－2x＋11，即2x＋y－11＝0. (2)易知线段AB的中垂线方程为y＝x＋2，可求得C(5，8)关于直线y＝x＋2的对称点为(6，7)，即点D的坐标为(6，7)．

例2

(1)B

(2)(ⅰ)(x－1)2＋(y－2)2＝2

(ⅱ)①②③

[解析] (1)设C(a，－a)，则方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. |2a||2a－4|2＝2，解得a＝1，此时圆的半径为|2a|2＝2，故圆C的|AB|(2)(ⅰ)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r＝＋12＝2，解得r＝2.所以222圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2. (ⅱ)由(ⅰ)知，A(0，2－1)，B(0，2＋1)．

设|MA|M(a，b)，则＝|MB|a2＋[b－（2－1）]2a2＋[b－（2＋1）]2＝1－b2＋[b－（2－1）]2＝1－b2＋[b－（2＋1）]2

（2－1）b－（2－2）＝（2＋1）b－（2＋2）1；

同理|NA|＝2－1. |NB|（2－1）（b－2）＝（2＋1）（b－2）（2－1）2＝2－（2＋1）（2－1）所以|NA||MA||NB||MA|1|NB||MA|1＝，①正确；－＝－(2－1)＝2，②正确；＋＝|NB||MB||NA||MB||NA||MB|2－12－1＋2－1＝2 2，③正确．

综上，正确结论的序号是①②③. 变式题

(－∞，－1]∪[1，＋∞)

[解析] 只需满足点P到坐标原点的距离等于2，即点P2的轨迹方程为x2＋y2＝2，只要直线y＝kx＋2与该圆有公共点即可，即只要2≤2，解得k＋1k≤－1或k≥1，即k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

10a例3

(1)

(2)B

[解析] (1)C(a，a)到直线y＝2x的距离d＝，则|PQ|＝2 25a·5a21－，5所以△CPQ的面积S＝＝a2＋（5－a2）22a2a5－a11－＝≤＝，当且仅当a＝5－a2，即a55521010时取等号，所以实数a的值为. 22(2)即以AB为直径的圆与圆C有公共点时，求a的最大值．以AB为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a2＋1；圆C的圆心为(3，4)，半径为1.两圆的圆心距为5，两圆有公共点，则a2＋1－1≤5≤a2＋1＋1，即4≤a2＋1≤6，a>0，解得15≤a≤35，故a的最大值为35. →→变式题

(1)A

(2)C

[解析] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由OA·OB＝6，得x1x2＋y1y2＝226.又点A，B在曲线y＝x上，所以x1＝y21，x2＝y2，所以(y1y2)＋y1y2＝6，又y1y2>0，所以y1y2＝2. 直线AB的斜率k＝y1－y2y1－y211＝22＝，所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，即x1－x2y1－y2y1＋y2y1＋y21x1x－y＋y1－＝0，把x1＝y21，y1y2＝2代入，得直线AB的方程为x－(y1＋y2)y＋2＝0. y1＋y2y1＋y2圆心(0，0)到该直线的距离d＝222≤＝，由于y1≠y2，所231＋（y1＋y2）21＋（2 y1y2）24以上式等号不能成立，所以d<，即直线AB与圆x2＋y2＝相交．

39(2)如图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当∠APB最小时，只需要|OP|最大．

易知当点P取直线x－y＋2＝0与直线y＋2＝0的交点时，|OP|取得最大值，此时P(－4，－2)，

则|OP|＝2 5，所以sin 所以cos α＝1－2sin2

■

教师备用例题

例1(配听课例3使用)设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为____________________．

[答案] x＋y－2＝0 [解析] 方法一：依题意切点在第一象限，设切点坐标为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，该点与y0x0圆心连线的斜率为，切线垂直于切点与圆心的连线，故切线的斜率为－，所以切线方程为yx0y0x0222－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝x20＋y0.又点(x0，y0)在圆x＋y＝2上，所以切线方程为x0x＋y0yy022＝2，该直线与x，y轴的交点坐标分别为，0，0，，故切线l与两坐标轴围成的三角形的面x0y0122444积为×·＝≥22＝＝2，当且仅当x0＝y0＝1时取等号．易知切线l与两坐标轴围成2x0y02x0y0x0＋y02的三角形的面积最小时，|AB|取得最小值，故所求的切线方程为x＋y－2＝0. 方法二：设切线l的方程为y＝kx＋m，其中k<0，m>0，根据直线与圆相切得m＝2，1＋k2α1＝，

22 5α19＝1－2×＝. 22010m即m2＝2(1＋k2)．直线y＝kx＋m与x，y轴的交点坐标分别为－，0，(0，m)，所以直线y＝kxk1＋k1m21＋m与两坐标轴所围成的三角形的面积为－·＝－＝(－k)＋－≥2，当且仅当k＝－12kkk时取等号，此时m＝2.易知切线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小时，|AB|取得最小值，故所求的切线方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0. xy方法三：设A，B的坐标为A(a，0)，B(0，b)(a，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋abay－ab＝0.因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离d＝2|－ab|a＋b22＝2，整理得2（a2＋b2）＝ab，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号，所以|AB|＝a2＋b2＝abxy≥2 2，所以|AB|的最小值为2 2，此时a＝b＝2，切线方程为＋＝1，即x＋y－2＝0. 222x2y21例2(补充使用)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上ab2顶点，且|AB|＝7. (1)试求椭圆的方程；

(2)斜率为圆．

c1解：(1)依题意知＝，A(a，0)，B(0，b)，|AB|＝7，即a2＋b2＝7. a23的直线l与椭圆交于P，Q两点，且P在第一象限，求证：A，P，B，Q四点共2

x2y2又a－b＝c，所以解得a＝2，b＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. 43222(2)证明：设直线l的方程为y＝x2y2入椭圆方程＋＝1，

433x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，将直线l的方程代2整理得3x2＋2 3mx＋2m2－6＝0，

则Δ＝12m2－12(2m2－6)>0，即m2<6，

2m2－62 3mx1＋x2＝－，x1x2＝.①

33m2－333又y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，所以y1＋y2＝m，y1y2＝.②

222设过点A(2，0)，P(x1，y1)，B(0，3)三点的圆的方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

2则有2D＋F＋4＝0，x21＋y1＋Dx1＋Ey1＋F＝0，3E＋F＋3＝0，

所以D＝3E－1，F＝－3E－3.③

2222令x22＋y2＋Dx2＋Ey2＋F＝t，因为x1＋y1＋Dx1＋Ey1＋F＝0，

22222所以t＝(x21＋y1＋Dx1＋Ey1＋F)＋(x2＋y2＋Dx2＋Ey2＋F)＝(x1＋x2)－2x1x2＋(y1＋y2)－2y1y2＋D(x1＋x2)＋E(y1＋y2)＋2F，

将①②③式代入此式，并化简，得t＝1＋3m－2 3E，④

3222t＝(x22＋y2＋Dx2＋Ey2＋F)－(x1＋y1＋Dx1＋Ey1＋F)＝(x2＋x1)(x2－x1)＋(y2＋y1)(y2－y1)＋D(x2－x1)＋E(y2－y1)，

将①②③式及y2－y1＝t＝－3(x－x)代入上式，并化简，得

22131m＋3E－(x2－x1)．⑤

622t＋t＝0，

x2－x1依题意，x1≠x2，由④⑤得所以t＝0或x2－x1＝－2. 4若x2－x1＝－2，则(x2＋x1)2－4x1x1＝8－m2＝4，得m2＝3，

3所以m＝－3或m＝3，

此时直线l经过点(2，0)，(0，－3)或(－2，0)，(0，3)，这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾，所以t＝0. 2故x22＋y2＋Dx2＋Ey2＋F＝0，即点Q在过点A，P，B三点的圆上，所以A，P，B，Q四点共圆．