习题4.1教学设计范文

第三节

圆的方程

1.掌握确定圆的几何要素．

2.掌握圆的标准方程与一般方程．

[知识梳理] 1．圆的定义和圆的方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

圆心C(a，b) 半径为r

充要条件：

D2＋E2－4F＞0 方程

一般

x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0) 2222标准

圆心坐标：

ED－2，－2

半径r＝

122D＋E－4F

22.确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；

(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．

3．点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．

必记结论

求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

1

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在任一弦的中垂线上．

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

[自主诊断] 1．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(

) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(

) 2A．(－∞，－2)∪3，＋∞

C．(－2,0)

2B．－3，0

2D．－2，3

3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(

) 22A．(－1,1)

B．(－3，3)

C．(－2，2)

D．－，

224．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(

) A．x2＋y2＝2

B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1

D．x2＋y2＝4 5．(人教A必修2习题4.1改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．

考点一

圆的方程求法

1．(1)求经过点P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程；

(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长

2

为23，求圆C的标准方程．

求圆的方程的2种方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法：

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

[即时应用] 1．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．

3

圆的方程的求法一直是高考命题的热点，各种题型均有考查，多涉及圆与其他知识交汇命题，难度中档．

1．(2015·高考全国Ⅱ卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(

) A．26

C．46

B．8 D．10 2．(2016·高考全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，求圆C的面积．

3．(2013·高考新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23. (1)求圆心P的轨迹方程；

2(2)若P点到直线y＝x的距离为2，求圆P的方程．

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