3.1.3 空间向量的数量积运算优秀课堂实录

《空间向量的数量积运算》教学设计

一、教材分析：

（一）

教材的地位、作用：

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《空间向量数量积及其应用》，计划安排两节课时，本节课是第2课时。也就是，在有了平面向量数量积公式，空间向量坐标表示，以及空间向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握空间向量数量积的变形公式，然后，围绕着空间向量的几何应用展开讨论和研究。

通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

（二）

教学目标：

知识目标：①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

②

运用公式解决立体几何中的有关问题。

能力目标：①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度、价值观目标：

①

通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

②

通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

（三）教学重点、难点：

重点：空间向量数量积公式及其应用。

难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题。

二、教法、学法分析：

教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；

学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。

三、教学过程分析：

根据二期课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作了如下的调整：基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角，所以，首先让学生掌握教材所要求的基本面；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了两个分别运用向量的“代数运算”和“几何运算”来处理空间几何问题的典型例题，为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法，进一步拓展了学生的思维渠道。以下，是我制定的教学流程：

创设情境，提出问题类比猜想，探求新知公式运用，巩固提高回顾小结，整体感知课外探究，激发热情

D1 F 教学过程如下：

C1 （一）

创设情境：

A1B

给出问题一：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，

E 1D D1F=FC1，如何确定BE,FD的夹角？

C 2A

1 B

[设计意图]：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会让他们联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。

[处理过程]：

设问：平面向量的夹角问题如何求得的？

是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？

学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式及其坐标表示；类比猜想，认识空间向量的夹角问题。

（二）

建构数学：（板书）

对于空间两个非零向量ax1,y1,z1

,bx2,y2,z2,夹角为，(1)有ababcos

(2)cosabab,用坐标表示为cosx1x2y1y2z1z2xyz212121xyzD1 F 222222

（三）

公式运用：

1、问题一的解决：

①学生活动：解决上述问题。

②.变式运用：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

AE=EA1，D1F=C1 BA1E D 1F1C1，求BE、FD所成的角？

2

A B

[设计意图]：初步体会立几法、向量法来解决几何问题，并注意区分两个向量夹角与两条异面直线间的夹角。

[处理过程]：（由以往教学实践，部分学生可能想到用传统的几何方法）

设问：如何用向量方法求BE、FD所成的角？

（引导学生建立空间直角坐标系，求得B、D、E、F的坐标，进一步得到BE,FD的坐标，最后代入空间向量夹角公式…计算得出的向量夹角是钝角，而异面直线成锐角。）

[评价]：

①

异面直线所成的角可由向量的夹角来解决，可见，解决立体几何的有关问题时，方法并不唯一。在此，可以比较向量法和几何法，选择适当方法，解决问题。

②

两个向量夹角与两条异面直线间的夹角是有区别的。

2.问题二的探究：

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，

AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的

两条对角线交点为D，B1C1中点为M。

（1）求证：CD⊥平面BDM；

（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。

C B A A1

C D C1

M B1

2

[设计意图]：通过立几法、向量法的尝试，让学生明显感受到运用向量法的优越性。

[处理过程]：

①

学生活动：让学生先试行用传统方法解决问题，估计不少学生会感到有一定困难。

[设问]：类似于上题做法，能否用向量法解决这一问题？

②

学生活动：进入思考讨论

③

相互分析交流——达成共识：

（i）

证明线面垂直可转化为证线线垂直，进一步转化为证向量间的垂直，即向量的数量积等于零; （ii）

求二面角的平面角，转化为求那两条与二面角的棱垂直的射线所成的角，在此，可构造两向量（提醒其方向，及向量始点的自由、不唯一性），然后求其夹角，从而解决问题。

④

解题过程：

[评价]：“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作，求解的关键在于建立适当的空间直角坐标系（基本原则：使图中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于用坐标表示相关的点及向量），然后利用坐标系确定各相关的点及向量坐标，再借助向量坐标运算法则及公式，无需添加辅助线，即可达到解题的目的。

3.小结，利用空间向量解决立体几何中有关问题的一般步骤：(学生回答，教师补充，板书) （1）适当地构建空间直角坐标系；

（2）用坐标表示相关的点、空间向量；

（3）进行空间向量的运算；

（4）体炼共性，转化为几何结论。

B1

（四）

归纳总结：

A引导学生总结本节课的收获，相互交流。

C1

D1

（五）

课外探究：

（这是2000年高考题）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的

底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，

A B CDD 当的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD，请给出证明。

C A CC1[设计意图]：把它放在这里，一方面：在高二阶段，接触到高考题，学生的兴趣颇高，可调动学生的学习热情，增强学生的主体意识；另一方面，解题中，再次让学生感受到：单纯用立体几何知识解答较繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解的难度，同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望。

（六）

布置作业

[板书设计]

课题引入：

问题一的解决：

课外探究：

空间向量数量积、夹角公式：

问题二的解决：

布置作业：

用向量解几何题的步骤：

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四、教学反思：

本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展；另外，课外探究题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。

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