1.2.2 充要条件教学实录与评析

第3课时

命题及其关系、充分条件与必要条件（教案）

一、

高考链接（3分钟）

命题及其关系、充分条件与必要条件作为常用逻辑用语的重要内容，是每年高考的常考的内容。通常会与数学一些重要结论相结合，属于容易题。一般会出一个客观题，既注重考查考生的基础知识、基本技能，又在一定程度上突出对数学思想方法考查。

请大家欣赏近三年高考高考真题：（PPT展示），从这三个题可以看出，一般是充要性判断的考查，难度不大。

那么怎样能在高考中考好这部分内容呢？请看本节课的学习目标。

二、

学习目标（2分钟）

PPT展示或学案上学生齐声朗读或老师认真地念一遍。

三、

梳理过关（5分钟）

课前学生预习，并完成。课堂上教师PPT展示知识梳理的答案，同时重点强调需要注意的问题（可以请学生来说）。

四、

重点突破（21分钟）

例1. (1)(2017·银川模拟)命题“若x2＋y2＝0,x、y∈R，则

x＝

y＝0”的逆否命题是

(

) A．若

x≠ y≠0，x、y∈R，则x2＋y2＝0 B．若

x＝

y≠0，x、y∈R，则x2＋y2＝0 C．若

x≠0且

y≠0，x、y∈R，则

x2＋y2≠0 D．若

x≠0或

y≠0，x、y∈R，则

x2＋y2≠0 (2)命题p：“矩形的对角线相等”的逆命题为

q,则p与q的真假性是(

) A.p真q假

C. p假q真

B.p真q真

D.p假q假

【活动设计】

（1）以小组为单位，先独立思考，后小组探究，统一答案；

（2）以抽签的方式抽取展示小组上台展示，其他小组补充；

（3）小组踊跃上台总结解题方法技巧；

（4）教师实时恰当地点播。

【设计意图】

己知原命题写其它命题

判别命题真假

【解析】

(1)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.

( 2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p真，q假．

【方法总结】

(1) 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可

(2) 由一些结论直接判别命题真假

例2.(1)(2016·高考天津卷)设

x＞0，

y∈R，则“

x＞y”是“ x＞|y|”的(

) A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)给出下列命题：

①“数列{an}为等

比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“

m＝3”是“直线( m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

③设a，b，c分别是△ABC三个内角

A,B,C所对的边，若a＝1，b＝

，则“ A＝30°”是

“B＝

60°”的必要不充分条件．

其中真命题的序号是________．

【活动设计】

（1）以小组为单位，先独立思考，后小组探究，统一答案；

（2）以抽签的方式抽取展示小组上台展示，其他小组补充；

（3）小组踊跃上台总结解题方法技巧；

（4）教师实时恰当地点播。

【设计意图】

(1)必要不充分条件的判断

(2)充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的判断

【解析】

(1) 由

x＞y推不出

x＞|y|，由

x＞|y|能推出

x＞

y,所以“x＞y”是“ x＞|y|”的必要而不充分条件．

(2)对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan+1}是等比数列，但当数列{anan+1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当

m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有

m＝3，也可能

m＝0.因此②不正确；对于③，由题意得

＝

=

,若B= 60，则sinA=

, 注意

b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB=

,由于b>a,所以B＝600或B＝120°，

因此③正确．综上所述，真命题的序号是①③. 【答案】

(1)C

(2)①③

【方法总结】

充要条件的判断方法有定义法、等价转化法,

充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可

例3.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S={ x| 1-m≤x≤1+m},若x∈p是x∈S的必要条件，求

m的取值范围．

【活动设计】

（1）以小组为单位，先独立思考，后小组探究，统一答案；

（2）以抽签的方式抽取展示小组上台展示，其他小组补充；

（3）小组踊跃上台总结解题方法技巧；

（4）教师实时恰当地点播。

【设计意图】

必要条件的集合判断法

【解析】

由x2－8x－20≤0，得－2≤ x≤10，

所以

P＝{x|－2≤ x≤10}，

由x∈p是x∈S的必要条件，知

S⊆ P.

,所以0≤ m≤3.

则

所以当0≤ m≤3时,x∈p是x∈S的必要条件,

即所求

m的取值范围是[0，3]．

【方法总结】

P成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B 若A若BB,则p是q的充分不必要条件; 若A⊆B,则p是q的____________条件. A, 则p是q的必要不充分条件; 若B⊆A,则p是q的______________条件. 这样充要条件就有三种判断方法,分别是定义法、集合法、等价转化法

五、

当堂检测（5分钟）

从课时作业中选择2-3道题，对应学习目标，当堂让学生练习。先独立完成，后统一答案。小组长检查落实小组成员存在的问题，小组内解决，解决不了组与组交流或请老师点播。

六、

思维拓展（6分钟）

已知p: | 1 -

|≤2, q:1-m≤x≤1+m(m>0)，且﹁p是﹁q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________

【设计意图】

涉参变量的必要而不充分条件,运用集合法和﹁p 【解析】法一：由| 1 -

|≤2得－2≤ x≤10，

所以﹁P对应的集合为{ x|x>10或

x<－2}，

设

A＝{ x|x>10或

x<－2}．

1－

m≤x≤1＋m (m>0)，

所以﹁q对应的集合为{x|x>m＋1或

x<1－

m,m>0}，

设B={x|x>m＋1或

x<1－

m,m>0}．

因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，所以B

则

且不能同时取得等号．

解得

m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．

法二：因﹁p是﹁q的必要而不充分条件,

所以q是p的必要而不充分条件．

即p是q的充分而不必要条件，

因为

q对应的集合为{x|1－

m≤x≤1＋m,m>0}

设M={x|1－

m≤x≤1＋m,m>0}

又由| 1 -

A,

|≤2得－2≤ x≤10

所以p对应的集合为{x|－2≤ x≤10}

设N={x|－2≤x≤10}.

由p是q的充分而不必要条件知NM,

则

且不能同时取等号，解m

9.

所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．

【答案】

[9，＋∞) 【方法总结】

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

(3)法二根据原命题与逆否命题的等价性转化

七、

思维导图（3分钟）

学生总结，老师点拨本节课的内容、重点、难点、易错点等，并在PPT上展示。

互

逆

互

否

四种命题及其相互关系

命题及其关系、充分条件与必要条件

互为逆否

等价关系命题

充要条件常用的三种判断方法

原命题等价于

逆否命题

原命题的否命题

等价于逆命题

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

充要条件

(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A

A是B的充要条件

的必要条件；若A＝B，则

课时作业简答

1.(2017天津理科高考)设θ∈R,“|θ-

|<”是“sinθ<”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析] (A)

由“|θ-

|< ”得0<θ<

所以0< sinθ<

,但θ=0,

sinθ<

,不满足|θ-

|<

故选(A)

2．命题“若x2＋3x－4＝0，则

x＝－4”的逆否命题及其真假性为(

) A．“若

x＝－4，则x2＋

3x－4＝0”为真命题

B．“若

x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若

x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题

D．“若

x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

[解析] (c)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2＋

3x－4＝0，得

x＝－4或1，故选C.

3．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

B．命题“若

x＞

y，则

x＞|y|”的逆命题

C．命题“若

x＝1，则

x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若

＞1，则x＞1”的逆否命题

B

[解析] 对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若

x≤1，则

x2≤1”，易知当

x＝－2时，x＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若

x＞

y，则

x＞|y|”的逆命题为“若

x＞|y|，则

x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若

x＝1，则

x2＋x－2＝0”的否命题为“若

x≠1，则

x2＋

x－2 ≠0”，易知当

x＝－2时，x2＋

x－2＝0，故为假命题；对于D，命题

“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若

x≤1，则

”，易知为

2

假命题，故选

(B)．

4.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[解] 使x∈P是x∈S的充要条件．则p＝S，

P＝{x|－2≤x≤10}

所以

所以

即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件．

5.

(2017·常德一中月考)若“x－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则

a的最小值为________．

[解析] 由x－x－6 >0，解得

x<－2或

x>3.

因为

“x－x－6>0”

是“ x> a”的必要不充分条件，

所以{ x| x> a}是{ x| x<－2或

x>3}的真子集，即

a≥3，故

a的最小值为3.

[答案] 3

222