1.2.1 充要条件教学设计(第二课时)

1.2 充分条件与必要条件

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q p

⇒/

q

p是q的充分条件

p不是q的充分条件

q是p的必要条件

q不是p的必要条件

1．充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

2.充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

1．x>3是x>5的充分条件吗？

提示：不是．因为x>3⇒/

x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．

2．如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？

提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．

3．若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？

提示：A＝B. 4．p是q的充要条件，q是s的充要条件，p是s的充要条件吗？

提示：是．∵p是q的充要条件，∴p⇔q，又q是s的充要条件，∴q⇔s，故p⇔s，即p是s的充要条件．

考点一

充分、必要条件的判断

在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．

(1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根；

(2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，B：c2＝(a2＋b2)r2. [自主解答]

(1)当|p|≥2时，例如p＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋px＋p＋3＝0要有实根，必有p≤－2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件．

(2)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，|c|即r＝22，

a＋b所以c2＝(a2＋b2)r2；

|c|反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则22＝r成立，

a＋b说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，

即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，

故A是B的充要条件．

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充分、必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假性判断，如果“若p，则q”为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若q，则p”为真，则q是p的充分条件，p是q的必要条件，若同时为真，则p是q的充要条件．

1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B；

(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．

(2)取∠A＝120°，∠B＝30°，sin A>sin B，但tan A

(3)(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，即p⇒q，但(x－1)(y－2)＝0时，(x－1)2＋(y－2)2＝0不一定成立，如x＝1，y＝0，即q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．

考点二

充要条件的证明

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [自主解答]

法一：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0，

∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式

Δ＝b2－4ac>0. ∴方程一定有两不等实根．

c设为x1，x2，则x1x2＝<0，

a∴方程的两根异号．

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

设为x1，x2，

c则由根与系数的关系得x1x2＝<0 a即ac<0，

综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 法二：令f(x)＝ax2＋bx＋c

则方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根

a>0，a<0，⇔或

f0<0，f0>0，

a>0，a<0，⇔或⇔ac<0. c<0，c>0，

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证明充要条件，可以从充分性和必要性两个方面进行，此时特别要注意，充分性和必要性所推证的内容是什么；也可以充分性、必要性同时证明。

112．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xyy－x1111证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，

xyxyxy又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. (2)充分性：由xy>0，及x>y，

xy11得>，即<. xyxyxy11综上所述，<的充要条件是xy>0. xy

考点三

充要条件的综合应用

已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

[自主解答]

令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根

2k－1⇔－>12f1>0Δ＝2k－12－4k2≥0因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．

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探求充要条件一般有两种方法：

(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．

3．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

1解：法一：当a＝0时，x＝－符合题意．

22当a≠0时，令f(x)＝ax＋2x＋1，

由于f(0)＝1>0，

Δ＝4－4a≥0∴当a>0时，1，∴a≤1，即0

⇔k<－2.

当a<0，f(0)＝1，Δ＝4－4a>0，

所以方程恒有负实数根．

综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根时a≤1. 若a≤1，则当a＝1时，方程化为x2＋2x＋1＝0有一个负实根x＝－1. 当a<1，且a≠0时，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不同实根，设为x1，x2，

21则x1＋x2＝－，x1x2＝，

aa当a>0时，x1＋x2<0，x1x2>0，

此时x1<0，x2<0；

当a<0时，x1＋x2>0，x1x2<0，此时，方程有一负实根．

1当a＝0时，x＝－符合题意，

2∴当a≤1时方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负实根．

∴关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件是a≤1. 法二：方程ax2＋2x＋1＝0没有负实根

4－4a≥0，a≠0，⇔或－2≥0，a4－4a<0，

1a≥0，a≠0，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

【解题高手】【易错题】

m1一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(

) nnA．m>0，n>0

B．mn<0 C．m<0，n<0

D．mn>0 m1[错解]

由题意可得，一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，

nnm－<0，n即

1>0，n

⇔a>1. 

解得m>0，n>0，所以选A. [错因]

p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则q⇒/

p，且p⇒q，故本题应是题干⇒选项，而选项⇒/

题干，而选项A为充要条件．

m－<0nm1[正解]

一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限⇔⇔m>0，nn1>0n

n>0，

由题意可得，m>0，n>0，可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D. [答案]D

1．(福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”；

故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2. 答案：A

12(天津高考)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(

) 2A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：∵2x2＋x－1>0⇔x<－1或x>，

211∴x>⇒2x2＋x－1>0，且2x2＋x－1>0⇒/ x>，

221即x>是2x2＋x－1>0的充分不必要条件．

2答案：A 3．(浙江高考)若α∈R，则“α＝0”是“sin α

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α

|a－b＋2||a－b＋2|解析：∵圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心到直线y＝x＋2的距离d＝⇔＝222⇔a－b＝0或a－b＝－4. ∴直线与圆相切，不一定能推出a＝b. 答案：充分不必要

x－15．设A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<1}，则“A∩B≠∅”的充要条件是________．

x＋1解析：A＝{x|－10)是p的一个必要不充分条件，求a的取值范围．

解：由于p：x2－2x－3<0⇔－1

|x－1|0)．

依题意，得

{x|－10)，

1－a<－1，1－a≤－1，∴或

1＋a≥3，1＋a>3，解得a>2.则a的取值范围是(2，＋∞)．

一、选择题

1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若m＝2，则A＝{1,4}，A∩B＝{4}成立；若A∩B＝{4}，则m2＝4，m＝2或

m＝－2. 答案：A 2．(重庆高考)“x＜－1”是“x2－1＞0”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：注意到x2－1＞0⇔x＜－1，或x＞1.因此由“x＜－1”得“x2－1＞0”；反过来，

由“x2－1＞0”不能得“x＜－1”，即“x＜－1”是“x2－1＞0”的充分不必要条件．

答案：A 3．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，∴a·b＝a·c⇒/

b＝c，反之，b＝c⇒a·b＝a·c. 答案：B 4．(浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是π“φ＝”的(

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

ππ解析：若f(x)是奇函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，且当φ＝时，f(x)为奇函数．

22答案：B 二、填空题

5．“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．

解析：当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0. 答案：充要

6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________. 2解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－. 32答案：－

37．(陕西高考)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2. 答案：3或4 8．“lg x>lg y”是“x>y”的________条件．

解析：lg x>lg y⇔x>y>0，x>y⇔x>y≥0，

∴lg x>lg y⇒x>y，x>y⇒/

lg x>lg y. 答案：充分不必要

三、解答题

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求证：数列{an}是等比数列的充要条件是q＝－1. 证明：先证{an}是等比数列的必要条件是q＝－1 a1＝S1＝p＋q，

－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1) n－1anpp－1∵p≠0，p≠1，∴当n≥3时＝－＝p，

an－1pn2p－1a2an＋1∵{an}为等比数列，∴＝＝p，

a1an

pp－1＝p，∵p≠0，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1 p＋q再证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．

当q＝－1时，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，a1＝S1＝p－1，

－－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn1＝pn1(p－1) －∴an＝(p－1)pn1(p≠0，p≠1)，

当n≥2时

n－1anp－1p＝－＝p为常数．

an－1p－1pn2∴q＝－1时，数列{an}为等比数列，即数列{an}为等比数列的充要条件是q＝－1. 110．判断0

1解：①当0＜m＜时，

3Δ＝4－12m＞0. ∴一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不等的实根．

设方程的两根为x1、x2，

3则x1x2＝＞0，

m故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．

②若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，

Δ＝4－12m＞0，1则有3解得0＜m＜. 3m>0，1即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m＜. 31综上可知，0

3

∴