3.1.3 导数的几何意义教案1

导数的几何意义（1）

一．学习内容分析

1、导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，利用这一几何意义，可以求圆的切线方程，求参数值、研究函数的单调性，进而求函数的极值、最值等。

2、本节课的主要内容是对导数几何意义进行探讨，它是在学生学***均变化率、导数的定义及其物理意义的基础学习的。

二.学生学习况情分析

学生在在前面已经学***均变化率的概念，这节课可以先由平均速度过度到瞬时速度，在得出导数的概念。学生在已有这些概念的基础上得出导数的概念比较容易掌握。

三．学生能力发展目标1、学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。

2、学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

四．学习重点与难点

教学重点和难点：导数的概念是本节的重点和难点.

五、学习过程：

一、【复习回顾】

1、函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为__________________；

2、导数的概念（1）定义;(2)记法；（3）公式：

二。【创设情境】

（一）.平均变化率、割线的斜率

（二）。瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

三、【新课讲授】

1.曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么？

1

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(2)切线PT的斜率k为多少？

容易知道,割线PPn的斜率是kn图3.1-2 f(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时, xnx0f(x0x)f(x0)kn无限趋近于切线PT的斜率k,即klimf(x0)

x0x说明: (1)设切线的倾斜角为,

那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k得到曲线在点

x(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

2

3.导函数

由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个

确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作:f(x)或y,即f(x)ylimx0f(xx)f(x).

x注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 4.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的

极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数. (3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一. 四。标杆题

(1)求曲线yf(x)x1在点P(1,2)处的切线方程. (2)求函数y3x在点(1,3)处的导数. 22[(1x)21](121)2xx2解: (1)y|x1limlim2

x0x0xx所以,所求切线的斜率为2

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)(2)因为y|x1limlimlim3(x1)6

x1x1x1x1x1所以,所求切线的斜率为6, 因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

五、类比题

1、如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x6.5x10, 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况. 解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0, 所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x6.5x10在tt1附近单调递减. (3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, 所以,在tt2附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢. 2、

如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min) 变化的图象.根据图像,估计t0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

3 222

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数, 从图像上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率. 如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作t0.8处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则它的斜率为k0.480.911.4,所以f(0.8)1.4

1.00.70.2 '下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: t

药物浓度瞬时变化率f(t)

五。课堂练习

30.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 0.4 1.求曲线yf(x)x在点(1,1)处的切线. 2.求曲线yx在点(4,2)处的切线. 六。【课堂小结】

1.曲线的切线及切线的斜率. 2.导数的几何意义.

4