1.4.3 含有一个量词的命题的否定教案设计范例

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【最新考纲】

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“或”、“且”“非”叫做逻辑联结词．

(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p q p∧q p∨q 綈p 真

假

假

假

真

真

真

假

假

假

真

真

真

真

真

假

假

真

假

假

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．

(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．

3．含有一个量词的命题的否定

命题

∀x∈M，p(x) 命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x)

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．(

) (2)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(

) (3)“长方形的对角线相等”是全称命题．(

) (4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．(2015·湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(

) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.

答案：A 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(

) A．(綈p)∨(綈q)

B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q)

D．p∨q 解析：依题意得綈p：甲没有降落在指定范围，綈q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．

答案：A 4．下列命题中假命题是(

) A．∀x∈R，2x－1＞0 B．∃x0∈R，－(x0－1)2≥0 C．∀x∈(1，＋∞)，log 2x＞0 D．∃x0∈R，cos x0＞x20＋2x0＋2 解析：根据函数的性质可知A、C正确，对于B，当x0＝1时，2－(x0－1)2≥0成立，故B正确，对于D，x2＋2x＋2＝(x＋1)＋1≥1，000故D错．

答案：D

5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，

a＜0，由题意知得－8≤a＜0.

2Δ＝a＋8a≤0，综上，－8≤a≤0.

答案：[－8，0]

一种关系

逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

一种区别

正确区别命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．

两类否定

1．含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题p：∀x∈M，p(x)，綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．

(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，綈p：∀x∈M，綈p(x)．

2．由逻辑联结词构成的新命题的否定

(1)綈(p∧q)⇔(綈p)∨(綈q)；(2)綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈p)．

一、选择题

π1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数2πy＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(

) 2A．p为真

B．綈p为假

C．p∧q为假

D．p∧q为真

解析：p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

答案：C 2．(2017·北京朝阳区高三一模)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧

比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为(

) A．p∨q

B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q)

D．(綈p)∨(綈q) 解析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

答案：D 3．(2015·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．

答案：D 4．(2017·山西忻州四校第三次联考)已知命题p：∃x∈R，2x＞π3；命题q：∀x∈0，，tan x＞sin x，则下列是真命题的是(

) 2xA．(綈p)∧q

B．(綈p)∨(綈q) C．p∧(綈q)

D．p∨(綈q) π解析：当x＝－1时，2＞3，所以p为真命题；当x∈0，2－1－1

时，tan x－sin x＝q)是真命题．

答案：D sin x（1－cos x）＞0，所以q为真命题，所以p∨(綈cos x5．下列命题中是假命题的是(

) πA．∀x∈0，2，x＞sin x B．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 C．∀x∈R，3x＞0 D．∃x0∈R，lg x0＝0 π解析：对于A，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x，当x∈0，2π时，f′(x)＞0.从而f(x)在0，上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x2π＞sin x，故A正确；对于B，由sin x＋cos x＝2sin(x＋)≤2＜24知，不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2，故B错误；对于C，易知3x＞0，故C正确；对于D，由lg 1＝0知，D正确．

答案：B 6．(2014·湖南卷)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中真命题是(

) A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

解析：先判断命题p，q的真假，再根据真值表求解．

当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．

当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．

答案：C

二、填空题

π7．命题“∃x0∈0，，tan x0＞sin x0”的否定是________．

2π答案：∀x∈0，，tan x≤sin x 28．已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；

②命题“p∧(綈q)”是假命题；

③命题“(綈p)∨q”是真命题；

④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．

其中正确的是____________(填正确命题的序号) 解析：命题p、q均为真命题，则綈p、綈q为假命题．从而结论①②③④均正确．

答案：①②③④

9．若命题“∃x0∈R，2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

2解析：因为“∃x0∈R，2x0－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x

∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.

答案：[－22，22] 三、解答题

10．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)∀T＝2kπ，k∈Z，sin(x＋T)＝sin x；

(2)若直线l⊥平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′；

(3)若an＝－2n＋10，则∃n∈N*，使Sn＜0. 解：(1)原命题的否定为：∃T＝2kπ，k∈Z，sin(x＋T)≠sin x，假命题．

(2)原命题的否定为：若直线l⊥平面α，则存在l′⊂α，l与l′不垂直，假命题．

(3)若an＝－2n＋10，则对∀n∈N*，Sn≥0，假命题．

11．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x02∈R，使x0＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，试求实数a的取值范围．

解：要使p成立，由x2－a≥0，得a≤x2，x∈[1，2]，所以a≤1.要使q成立，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2.因为命题“p且q”是真命题，则p，q同时为真，即a≤1，，即a≤－2或a＝1.

a≥1或a≤－2故实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．