1.2.1 充要条件教学设计及课堂实录

1.2.1 充要条件

一、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（2）正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （3）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

二、教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件 2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

三、教学过程

1.充要条件

如果 ，且 ，那么称p是q的充分必要条件，简称 ，记作

2.常见的四种条件

(1)充分不必要条件，即

(2)必要不充分条件，即 .

(3)充要条件，即

(4)既不充分也不必要条件，即

充要条件的判断

例1(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

解：在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，

所以p是q的充要条件. ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

解：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，

则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件. ③p：|x|>3，q：x2>9. 解：由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件

名师指津：对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但pq，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p

q，且q

p，

则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

充要条件的证明

例2.

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明

①必要性：

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

22Δ＝2k－1－4k≥0，x1－1＋x2－1>0，x1－1x2－1>0，

⇒x＋x－2>0，xx－x＋x＋1>0.1212121k≤4，

－2k－1－2>0，k＋2k－1＋1>0，21k≤4，

解得k<－2. ②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0. ∴x1>1，x2>1.

综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 课堂小结

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

课后练习

A基础达标

一、选择题

1.设p：x<3，q：－1

) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不

相交，则(

) A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

4.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

115.已知a，b为实数，命题甲：ab＞b，命题乙：＜＜0，则甲是乙的(

) 2baA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题

6.若p：x2－1＞0，q：(x＋1)(x－2)＞0，则﹁p是﹁q的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个). 7.关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________. 8.若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________. ①p是q的充分条件；②p是q的必要条件；③q是p的充分条件；④q是p的必要条件. B. [能力提升] 1.“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的(

) A.充要条件

B.必要不充分条件 C.充分不必要条件

D.

既不充分也不必要条件

2.已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知命题p：实数x满足－2≤1－x－13≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m＞0).若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.