1.2.1 充要条件教案和学案内容

1.2.2

充要条件

[学习目标]

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点一

充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p

就记作_p⇔q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. [思考]

(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

答案

(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 知识点二

常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题

真

逆命题

真

p与q的关系

p是q的充要条件

q是p的充要条件

p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件

p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

真

假

假

真

假

假

知识点三

从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不

是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

题型一

充要条件的判断

例1

(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(

) A.充要条件

C.必要而不充分条件

答案

A 解析

解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3，q：x2>9. 解

①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，

所以p是q的充要条件. ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，

则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件. ③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件. 反思与感悟

判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件. (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的. 跟踪训练1

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A.ab＝0

C.a2＋b2＝0

B.ab>0 D.a2＋b2>0 B.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

D 解析

a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________. 答案

a<－1 解析

函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1. 题型二

充要条件的证明

例2

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明

①必要性：

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

Δ＝2k－1－4k≥0，x1－1＋x2－1>0，x1－1x2－1>0，22

k≤4，⇒x＋x－2>0，xx－x＋x＋1>0.1212121

即－2k－1－2>0，k＋2k－1＋1>0，21k≤，4

解得k<－2. ②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0. ∴x1>1，x2>1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 反思与感悟

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 跟踪训练2

求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 证明

①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，

因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数. ②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，

即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，

所以b＝0. 综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.

1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0. 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3. 3.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

C 解析

a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得|a|＝2，∴a＝±2.∴α是β的充要条件

24.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.

答案

－1 解析

由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 115.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，>，则p是q的________条件. xy答案

充要

11解析

当x>0，y<0时，x>y且>成立，

xyx－y>0，11当x>y且>时，得x－yxyxy<0，所以p是q的充要条件.

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

x>0，⇒

y<0.

一、选择题

1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

A 解析

当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数. 2.设{an}是等比数列，则“a1

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

C 解析

{an}为等比数列，an＝a1·qn1，由a10，q>1或a1<0,0

D.既不充分也不必要条件

则数列{an}为递增数列.反之也成立.

13.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的(

) 2A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

A 11解析

因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞或x＜－1}，所以{x|x＞}{x|2x2＋x－1＞0}，故选22A. 4.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A.m＝－2

C.m＝－1

答案

A 解析

当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，

其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，

所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 5.已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A.x＝－

2C.x＝5

答案

D 解析

a⊥b⇔a·b＝0，

a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，

∴x＝0，故选D. 6.在△ABC中，“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

A 解析

sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B

＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，

又因为sin A≤1，所以sin A＝1. π又因为0

2故△ABC为直角三角形；

若△ABC为直角三角形，则A不一定为直角，也可能为锐角，则sin A不一定取到最大值1，

即不一定有sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B

＝sin A≥1，

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B.x＝－1 D.x＝0 B.m＝2 D.m＝1 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

故“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选A. 7.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

) A.充分而不必要条件

C.充要条件

答案

A 解析

当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点.当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件. 118.若a，b为实数，则“0”的(

) baA.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

因为00，b>0时，显然有a<；

b1当a<0，b<0时，显然有b>，

a11故“0”的充分条件. ba11而当a<0，b>0时，显然有a<且b>，

ba但推不出0”的充分不必要条件，故选A. ba二、填空题

9.下列不等式：

①x<1；②0

②③④

解析

由于x2<1即－1

a＜0 解析

由题意知|2x－3|＞a恒成立，

∵|2x－3|≥0，∴a＜0. 11.圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________. 答案

－3

D.既不充分也不必要条件

解析

圆心(0,0)到直线的距离为d＝由题意知d>1，∴∴－3

1＋k2222

>1，两边平方得k<3，

1＋k12.已知α，β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件. 答案

必要不充分

解析

面面平行时一定有分别位于两个平面内的直线无公共点，但是分别位于两个平面内的直线无公共点时，这两个平面的关系可能是平行，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件. 三、解答题

13.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明

①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，

|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立. 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时. 又当x>0，y>0时，

|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立. 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，

|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立. 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立. ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.