3.1.1 变化率问题教案2

《导数的概念》教案

南溪一中

张

旭

§1.1.2

《导数的概念》教案

一、教学目标

知识与技能：让学生了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；培养学生观察、分析、比较和归纳能力．

过程与方法：通过问题的探究让学生体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．

情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，帮助学生轻松掌握导数概念，激发学生学习数学的兴趣．

二、教学重难点

重点：导数概念的形成，导数内涵的理解．

难点：对导数的概念形成过程的探究．

难点成因：极限思想的缺乏．

三、教具：多媒体电子白板，计算器，课件．

四、教法：以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，引导学生通过类比探究形成导数概念．

五、教学过程：

㈠复习设疑，引入新课

活动方式：学生课前已完成导学案中“课前准备”部分的内容．

y复***均变化率：，我们可以用平均变化率去刻画函数在某一阶段的变x化情况．

设疑：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.计算运动员在0t65这段时间里的平49均速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

2探究过程：如图是函数h(t)4.9t6.5t10的图像，

h h(

v65)h(0)490(s/m)，

65049ot 所以运动员在0t65这段时间里的平均速度为0(s/m)．实际情况是运动员仍然运49动，并非静止．

㈡初步探索，展示内涵

根据学生的认知水平,导数概念的形成分为两个层次：



结合以上事件，明确瞬时速度的定义

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

回到跳水事件：

问题一：请大家思考如何求运动员在某一时刻的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？

-9-

《导数的概念》教案

南溪一中

张

旭

观看物理中测即时速度（瞬时速度）的视频，并提问“实验中所测得结果真的是瞬时速度吗？”引导学生回答：“是平均速度”再问“怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？”学生回答：“应该让时间间隔尽量小”．事实上真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．

h(2t)h(2)问题二：当Δt取不同值时,尝试计算v的值？

t（学生在学案上分组通过计算器计算完成下表并上台板演）

t0时，在[2t,2]这段时间内

vh(2)h(2t)4.9t13.1

2(2t)t0时，在[2,2t]这段时间内

vh(2t)h(2)4.9t13.1

(2t)2

当t

当t

当t

当t

当t

……

当t

v

v

v

v

v

v

当t

当t

当t

当t

当t

……

当t

v

v

v

v

v

v

问题三：观察上表，分析当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，

h(2t)h(2)13.1

为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即limt0t学生的疑惑：学生发现t=2时v4.9t13.1，瞬时速度是-13.1，那么瞬时速度不就是将化简后的平均速度中的Δt取0的值吗？由此引发学生讨论：是否可以将化简后平均速度中的Δt直接代为0得到瞬时速度？最后老师必须要向学生强调：我们研究的是平均速度趋近于t=2的变化过程，在此过程中Δt越来越短，但不能为0．当Δt趋于0时，v4.9t13.1与-13.1无限接近，这是一种极限运算，必须使用极限符号表示逼近过程，而不能简单的将这里的Δt代为0．

-10-

《导数的概念》教案

南溪一中

张

旭

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？（请同学上黑板写出结果）

t =2 t =t0

v平均速度

h(2t)h(2)

t瞬时速度

h(2t)h(2)

t0tlim



借助其它实例，抽象导数的概念

问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？

类比之前学习的瞬时速度问题，可得瞬时膨胀率的表示lim问题六：函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何呢？

平均变化率

瞬时变化率

高台跳水

h(t0t)h(t0)

tr(v0v)r(v0)

v0v气球膨胀

r(v0v)r(v0)

vr(v0v)r(v0)

v0vlim函数

f(x0x)f(x0)

xh(t0t)h(t0)

t0tlim？

xx0函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x我们称它为函数

yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或yf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x问题七:任何事物的瞬时变化率都可用导数来表示吗？

请学生阅读课本第5页倒数三个自然段．

㈢循序渐进、延伸拓展

即

f(x0)lim例1：已知函数f(x)x2，利用导数概念求f'(5)的值．

活动方式：学生先自己解答，教师再给出规范的解答过程，师生共同总结求导步骤．

求函数yf(x)在xx0点处的导数的步骤：

（1）求函数值的增量

yf(x0x)f(x0)

（2）求平均变化率

y

xy

x0x记为：“一差、二比、三极限”．

例2：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如（3）求极限

f(x0)lim

-11-

《导数的概念》教案

南溪一中

张

旭

果在第x h时候，原油温度（单位：c）为f(x)x27x15(0x8)．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

引导学生分析：解决问题的基本步骤：

（1）实际问题转化为数学问题：

在第2h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)

（2）根据导数定义，求平均变化率并化简：

yf(2x)f(x0)

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x（3）取极限得到瞬时变化率：

yf(2)limlim(x3)3

x0xx0（4）回到实际问题中来：

在第2h时，原油温度的瞬时变化率分别为3，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降．同理可得:f(6)5在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

变式：画出函数f(x)x27x15(0x8)的图像．并求函数在xx0(0x08)时原油温度的瞬时变化率．

总结一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

课堂练习：

必做题：

1、例1中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

2、质点运动规律为st23，求质点在t3的瞬时速度为．

选做题：求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数，并思考它的几何意义．

㈣归纳总结、内化知识

1、瞬时速度的概念．

yy2、导数的概念

平均变化率→瞬时变化率lim．

x0xx3、求函数yf(x)在xx0点处的导数的步骤．

（1）求函数值的增量

yf(x0x)f(x0)

（2）求平均变化率

y

xy

x0x-12- （3）求极限

f(x0)lim

《导数的概念》教案

南溪一中

张

旭

记为：一差、二比、三极限．

4、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般．

㈤作业布置、分层提高

必做：第10页习题A组第2、3、4 题．

选做：思考第11页习题B组第1题．

拓展阅读：

1、阅读微积分的发展《从割圆术走向无穷小》．

参考网页http://wenku.baidu.com/view/

2、请在网络中搜索“数学的第二次危机”,看看会得

到怎样的结果，说说你的感想．

附：板书设计

多媒体白板

1.1.2

导数的概念

课堂小结：

复***均变化率

例1

1、求导步骤：

一、瞬时速度

一差、二比、三极限

二、导数的概念

2、思想方法：

导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

“以已知探求未知”、逼近、类比、f(x0x)f(x0)

y

f(x0)limlim从特殊到一般

x0xx0x

导数可以描述任何事物的瞬时变化率

作业

课后总结反思：

1、由于计算工具所限，学生没能在课堂上多计算几组平均速度的数据，在以后的教学，可以尝试让学生自己动手操作几何画板来直观体会逼近思想，我想教学效果会更加理想．

2、从作业的反馈来看，个别学生在数学符号书写上出现了错误．在以后的教学中对新符号规范书写应该多加强化．

-13-