反证法教学设计思路

探究四点共圆的条件

中江县南华镇初级中学校 杨寂林

知识

技能

数学

活

思考

动

3、

通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

目

解决

标

问题

在数学活动中发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会和人合作，情感

学会倾听，培养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，使学生在活动中态度

获取成功的体验，建立学习的自信心。

重点

难点

通过活动探究四点共圆的条件。

对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

想，并能利用转化的数学思想解决问题。

在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，学会运用由特殊到一般的数学思2、

通过观察图形，提高学生的识图能力。

理能力和演绎推理能力。

1、

了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

2、

掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

1、

通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合情推活动过程设计

问题与情境

一、创设情境：

演示课件：

1、向学生展示WIFI信号在发射过程中的形状。

2、要使WIFI信号完全覆盖整个房屋，需要满足什么条件

二、分析交流：

问题

1、我们已经知道过任意三角形教师提出问题，引导学生利用作图工具作出图形。

由学生经过观察，分析，此环节的设计是为探究四点共圆的条件作好铺垫工作。由简单到复杂，让学生在亲自动手操作的过程中进行实验、探究，得到问题的答案。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性。

师生行为

对于问题2，教师引导学生将实际问题转化成数学问题，既四边形的四个顶点都在同一个圆上应该满足什么条件？

设计意图

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学来源于生活。

将实际问题数学化，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。

的三个顶点能够作圆。怎么作？

总结归纳出简单的点与圆的关3、过任意四边形的四个顶点能够作圆吗？

系，并了解点共圆所必须满足的基本条件。

三、合作探究：

【活动1】

1、任意四边形的四个顶点在不确定位置的情况下，可以考虑过三点作圆，讨论第四个点与圆的位置关系. 2、这里有一些四边形，同学们尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？

3、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？

【活动2】

1、通过活动，同学们推测出了

在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有什么不同呢？引导学生从四边形的边和角的方面去猜测，探究。

在学生猜到对角互补的四边形的四个顶点能共圆后，还需要引导学生进行证明。

在证明这个推测时，要让学生先进行讨论，思考最好的证明方法。

证明过程：

在四边形ABCD中，若∠B+

活动1、2的设计是让学生学会利用载体去对问题进行研究。从单一的点过渡到形，让学生由无法下手到主动探究，一步一步地向探究的目标靠近。

在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，让学生明确一个问题的解决方案，在推测之后要进验证，通过证明，让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论的确定性和证明的必要性，

培养学生和情推理能力。

附图：

四边形的四个顶点共圆的条件，∠ADC=180º，那么A、B、C、D可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？

2、不在同一条直线上的三点是四点共圆吗？为什么？

解：如图1：假设A、B、C、D四点不共圆，过A、B、C三点作圆，D点在圆内。

能共圆的，如果四点不能共圆，延长AD与圆交于点E，连接CE但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什么位置关系呢？

3、圆周角定理有哪些内容？

4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢？

ADE则：∠B+∠E=180º

∵∠ADC >∠E ∴∠B+∠ADC >180º

这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故假设不成立，

BC

如图2，假设A、B、C、D四点不共圆，D点在圆外。

证明方法与证明图1时同理。

ADE

BC

四、归纳反思：

问题

1、通过这节课的活动，你有哪些收获？

2、你还能借助第三种载体探究四点共圆的条件吗？

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所做活动，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。

教师布置新的问题继续激发学生的探究热情。

通过小节使学生总结本节课所学到的知识、技能、方法。培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

四、归纳反思：

问题

1、通过这节课的活动，你有哪些收获？

2、得出这样的结论，我们用到的是什么方法？

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所做活动，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。

教师布置新的问题继续激发学生的探究热情。

通过小节使学生总结本节课所学到的知识、技能、方法。培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

五、课外探究：

问题

1、过四个点还可以作出这样的图形，同学们观察一下，它们有什么特征？

2、先观察具有公共斜边的两个直角三角形，这四个点共圆吗？为什么？

教师在学生完成一次探究后，提出新的问题：我们通过四边形这种载体研究了四点共圆的条件。但这并不是探究四点共圆条件唯一的方法，我们还能找到另外的载体进行探究。

让学生明确解决问题方法的多样性，在解决一个问题的时候应该思维活跃，学会借助旧的知识点去寻找新的知识点。

E此的设计是为了让学生在掌握活动1、2之后能学会这种探究问题的方法，并能立刻应用到新的问题的探究中去，解决新的问题。

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学，通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法。学会发现问题，提出问题，解决问题。

AD

3、再观察一般的图形，探究过这两个三角形顶点的四点共圆的条件？

4、仿照活动1、2中的方法和步骤，对推测出来的条件应该如何证明？

由于有了活动1、2作为基础，学生在进行此探究时，教师只做引导，更多的让学生去操作，去判断，去证明。

EDCBC

AB