1.2.3 空间几何体的直观图ppt课件课堂实录

个性化教案

适用学科

适用区域

知识点

教学目标

数学

新课标

直观图

通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法. 适用年级

高一

课时时长（分钟）

60 教学重点

教学难点

用斜二测画法画空间几何体的直观图

直观图和三视图的互化

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。

考点/易错点2

画空间几何体的直观图的步骤

(1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°. (2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

(3)几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

(4)几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，

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长度为原来的一半

(5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．

考点/易错点3

三视图与直观图的异同

两种视图

相同点与联系

都是空间几何体的表现形式，已知一种形式可转化为另一种形式．三视图需有一定的空间想象能力才能看直观图

懂，供较专业的人们使用.

不同点

从三个不同位置观察得出的是三视图，它能体现各部分的准确比例．

从一个位置观察而得出的是直观图，它能直观地体现几何体的形状，但某些方向上的尺寸失真. 三视图

三、例题精析

【例题1】

【题干】画正五边形的直观图

【解析】(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；

(2)在图(1)中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，11O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴使C′D′＝CD22且F′为C′D′的中点．

1(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′2∥y′轴，且H′E′＝2HE，连接A′B′，B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图．

1【例题2】

【题干】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六

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边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．

【解析】画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面．

①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示)．

1②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，2以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. ③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画六棱锥P－ABCDEF的顶点，在O′z′轴上截取O′P′＝OP. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴，y′轴，z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3)．

【例题3】

【题干】由几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．

【解析】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

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(2)画圆台的两底面．利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．

(3)画圆锥的顶点．在Oz上取一点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.

【例题4】

【题干】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(

)

12A.＋

22C．1＋2

【答案】D

【解析】如图所示，∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC. B．1＋2

2D．2＋2

∵∠A′B′C′＝45°，

∴∠ABC＝90°. ∴AB⊥BC. ∴四边形ABCD是直角梯形．

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其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，

∴S梯形ABCD＝2＋2. 四、课堂运用

【基础】

1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(

) ①角的水平放置的直观图一定是角．

②相等的角在直观图中仍相等．

③相等的线段在直观图中仍然相等．

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0

[答案]

C [解析]

由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．

2．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(

) A.32a

2

B.32a

4

C.62a

2

D.6a2

B．1

C．2

D．3 [来源学_科_网Z_X_X_K]

[答案]

C [解析]

如下图(1)为直观图，图(2)为实际图形．

取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点，则在直角三角形A′O′M′中．∵O′A′＝＝O′A′＝36a，故A′M′＝a. 223a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′2a在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧取到y轴距离为的点B、点C，在x轴2上O点左侧取到y轴距离为3a的点M，过M作x轴的垂线，在垂线上且在y轴正方向上2取A点，使MA＝6a，连结AB，AC，则△ABC为所求．

16显然S△ABC＝a·6a＝a2，∴应选C. 22

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3．如图，已知几何体的三视图，则该几何体是________和________的组合体．(

)

A．圆柱和棱锥

C．圆柱与圆锥

[答案]

C [解析]

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．

4．一幢楼由相同的若干房间组成，三视图如图，则该楼(

)

B．长方体和圆锥

D．圆锥和圆台

A．长4间，宽1间，最高4层

B．长4间，宽2间，最高4层

C．长2间，宽4间，最高2层

D．长4间，宽1间，最高2层

[答案]

B [解析]

由正视图与俯视图知，该楼长4间，由侧视图和俯视图知该楼分前后两间，由正视图和侧视图知，该楼最高4层．

【巩固】

1．△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(

)

A．AB

B．AD

C．BC

D．AC

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[答案]

D [解析]

由于直观图中，∠x′O′y′＝45°，∴∠A′B′C′＝45°，故∠ABC＝90°，∴AC最长．

2．平行投影的投影线______，中心投影的投影线________．

[答案]

互相平行，交于一点

3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．[来源:Zxxk.Com]

[答案]

四棱台

【拔高】

1．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．

[解析]

2. 用斜二测画法画一个底面边长为2 cm，高为3 cm的正五棱锥的直观图(不写画法)．

[解析]

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课程小结

利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：

①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．

②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．

③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．

课后作业

【基础】

1．水平放置的矩形ABCD，长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为(

) A．42

[答案]

B [解析]

平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形，1∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，A′D′＝×2＝1，作D′E⊥A′B′垂足E. 2∴D′E＝1×sin45°＝2，

22＝22.2[来源:Z§xx§k.Com]

B．22

C．4

D．2 ∴S四边形A′B′C′D′＝A′B′·D′E＝4×

2．如图，模块①—⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①—⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为(

)

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A．模块①，②，⑤

C．模块②，④，⑤

[答案]

A 3．一个几何体的三视图都是矩形，则该几何体可能为(

) A．圆柱

[答案]

D

B．棱柱

C．棱台

D．长方体

B．模块①，③，⑤

D．模块③，④，⑤

【巩固】

1．某物体的直观图如图(1)，则其俯视图为(

)

[答案]

D

2．一个几何体的三视图均为等腰直角三角形(如图)，则该几何体的直观图为(

)

[答案]

C

[解析]

A、B的正视图都应是图(1)，D的侧视图应为图(1)均不符合，故选C.

3．如果一个梯形的平行投影仍是梯形，那么它的中位线的平行投影一定是这个梯形的平行投影的__________．

[答案]

中位线

【拔高】

1．画出如图所示的物体的三视图．

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[解析]

几何体的三视图如图所示．

[来源学科网ZXXK]

2．如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

[解析]

由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个长方体，上部是一个四棱锥，其直观图如图所示．

[来源学*科*网Z*X*X*K]

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