2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计案例

必修二(A版) 课时学案第4期2.2第四课时

第四课时

平面与平面平行的性质

一、课前准备

1.课时目标

(1)理解平面与平面平行的性质定理. (2)会证明平面与平面平行的性质定理，并能利用平面与平面平行的性质定理解决与平行有关的空间几何问题. 2.基础预探

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 平行，这个定理称为平面和平面平行的性质定理，用符号语言表示为： . 二、基本知识习题化

1.已知平面α∥平面β，平面β∥平面γ，直线a⊂平面α，则( ) A.a⊂γ B.a//γ C.a∩γ=A D.以上均不是

2.已知平面α∥平面β，直线a⊂平面α，直线b∩β=B，则直线a与b的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面

3.若两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是 . 4.已知平面α与平面β、γ都相交且不交于同一条直线，则交线的条数是 . 三、学习引领

1.平面和平面平行的性质定理是由面面平行推出线线平行，此处的线线是指两个平行平面同时和第三个平面相交的交线.这个定理用符号语言表示为：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b

⟹a//b. 平面和平面平行的性质定理的实质是：由平面与平面平行得出直线与直线平行. 2.若由平面和平面平行的性质定理来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要作出来.另外，平面和平面平行还有一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 3.面面平行的判定定理及性质定理的实质就是线、面平行与面面平行及面面平行与线线平行的转化.性质定理将空间面面平行关系转化为平面内线线平行关系（降维转化）；判定定理正好与此相反，体现了平面与空间的对立统一关系.要学会用转化思想处理立体几何问题，要认真领会和掌握线线、线面、面面平行的相互转化关系.因此，要判断某一平行的过程就是从已知平行出发不断转化的过程.在解题时要把握好这一点，灵活确定转化思路和方向. 4.证明面与面、线与线的平行关系的一般思考规律是“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是“发展已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”，这是分析问题的解决问题的一般思维方法.而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段. 四、典例解析

题型一、平面和平面平行的性质定理的理解

例1.下列正确说法的个数是（ ）

①若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；

②若一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交；

③若一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么它与另一个也平行；

④若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. A.1 B.2 C.3 D.4 分析：利用平面和平面平行的性质定理来判断. 解：由面面平行的性质定理可知①正确；易知②正确；一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么

它与另一个可能平行，也可能在另一个内，③错误；由面面平行的性质知④正确.故选C. 点评：通过对命题正误的判断考查对平面和平面平行的性质定理的理解是一种常见题型，判断时的主要依据是平面和平面平行的性质定理. 变式练***面α//平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在过点B的所有直线中（ ） A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.有且只有一条与a平行的直线 D.存在无数多条与a平行的直线 题型二、平面和平面平行的性质定理的应用

例2.如图1，已知平面α和β，α//β，过平面外一点P引直线PAB分别交α、β于A、B两点，PA=6，AB=2；引直线PCD分别交α、β于C、D两点.已知BD=12，则AC的长为（ ）

P A C α

B D β 图1 A.6 B.7 C.9 D.11 分析：运用平面和平面平行的性质定理得到线段平行，再利用平行线分线段成比例定理求解. 解：由图可知，平面PBD∩α=AC，平面PBD∩β=BD. 因为α//β，所以AC//BD，所以△PAC∽△PBD，所以==. 因为PA=6，AB=2,BD=12，所以=，解得AC=9.故选C. 点评：平面和平面平行的性质定理的实质是面面平行⟹线线平行，其中的线线即交线.因此，寻找或构造第三个平面是应用面面平行的性质的关键，实质就是将空间问题转化为平面问题. 变式练***面α//平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB=2，AC=2，∠BAC=60°，OA∶OA′=3∶2，则△A′B′C′的面积为 . 五、随堂练习

1.设l是平面α外一条直线，过l作平面β，使β∥α，则在下列结论中，正确的是（ ）

A.这样的β只能作一个 B.这样的β至少可作一个

C.这样的β不存在 D.这样的β至多有一个

2.下列说法正确的个数是（ ）

①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；

②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；

③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；

④两平行直线被三平行平面截得的线段成比例. A.1 B.2 C.3 D.4 3.若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα，则（ ）

A.α∥平面ABC B.△ABC中至少有一边与α相交

C.△ABC中至少有一边平行于α D.△ABC中只可能有一边与α相交

4.平面α//平面β，a⊂平面α，b⊂平面β，则下列四种情形：①a//b；②a与b异面；④a与b相交.其中可能出现的情形有 种. 5.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：

①⟹a∥b；②⟹a∥b；③⟹α∥β；④⟹α∥β；⑤⟹α∥a；⑥⟹α//a. 其中正确的命题是 . 6.如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1、B、C1的平面和平面ABC的交线为l，判断l与直线A1C1的位置关系，并给予证明. A1 C1

B1

A C l B 图2 六、课后作业

1.若三个平面把空间分成6部分，则三平面的位置关系是（ ）

A.三平面交于同一直线 B.有两平面平行且都与第三平面相交

C.三平面交于同一直线或有两平面平行且都与第三平面相交 D.三平面两两相交

2.如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是（ ）

A.邻边不等的平行四边形 B.菱形但不是正方形 C.邻边不等的矩形 D.正方形

D1 C1

A1 B1 Q P D C A B 图3 3.如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BDD1. D1 F C1

A1 B1 E G D H C N A B 图4 4.P是△ABC外一点，平面α//平面ABC，平面α交线段PA、PB、PC于A＇、B＇、C＇，若PA＇:AA＇=2:3，则S△A＇B＇C＇:S△ABC= . 由面积比等于相似比的平方，可得S△A＇B＇C＇:S△ABC=4:25.

5.证明：过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点且平行于该平面的平面内. 6.如图5，

P N D Q C A M B 图5 P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l. (1)求证：BC//l；

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.