习题2.1教学目标设计

异面直线所成的角

授课类型：新授课

授课时间：第

周

年

月

日（星期

）

一、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握异面直线所成的角的定义，熟记异面直线所成角的范围，会用平移转换法求异面直线所成的角。

2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。

3、情感态度与价值观：

（1）通过本节学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。

二、教学重点：异面直线所成的角的定义、范围与计算。

难点：空间平移点的选取及解题规范。

三、教学过程

（一）创设情景，引入新课

复习：1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。

2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。

3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。

4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。

说明：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。

问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？

提示：在平面几何中，用“距离”来刻画两平行直线间的相对位置，用“角”来刻画两相交直线间的相对位置。

D 1 A 1 D A B E B1 1

C1 1

C

问题3：一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何量出、所成角的大小？其理论依据是什么？

学生动手操作。

问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？

（二）新授课

1、异面直线所成角的定义（学生类比问题3给出定义）：

已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a' ∥a、b' ∥b，把a' 与b' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

范围：(0,a b 2]。

思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？

点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点。

2、探究：（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？即a∥b，若a⊥c，则b⊥c？

（成立，因为b、c所成的角与a、c所成的角相等，都是90°。）

（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

（否，两条直线可能相交、平行或异面。）

2、例、习题剖析：

例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：

（1）A1B1与CC1所成的角；

（2）A1B与CC1所成的角；

（3）A1C1与BC所成的角；

（4）A1C1与D1C所成的角；

分析：（1）∵A1B

// CC1

--------找

∴

A1BB1为A1B与CC1所成的角

--------证

在△A1BB1中，A1BB145；

--------算

∴

A1B与CC1所成的角为45o

--------答

D A 1

C B 1

1

1

D C B A

（2）A1BB145；（3）A1C1B145；

（4）BA1C160。

这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，简记为“找——证——算——答”。

变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（

）

（A）45°

（B）60°

（C）90°

（D）120°

解：连接A1B，BC1，A1C1

---------------------作

∵

A1B

// EF，BC1 // GH

∴

∠A1B C1为EF1与GH所成的角（或其补角）

-----------证

在三角形A1BC1中，A1B = BC1 = A1C1 ∴

∠A1B C1=60°

-----------算

∴

异面直线EF与GH所成的角等于60°

---------答

小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：

（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；

（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；

（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。

（4）结论。

简记为“作（或找）——证——算——答”。

例2、长方体ABCD—A1B1C1D1中，

AA1 = AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。

解：设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，

因为OE // D1B，所以∠C1OE或其补角，就是异面直线A1C1与BD1所成的角或其补角。

在△C1OE中，OC115，

AC1122OE1123BD12221，

222C1EB1C12B1E212122，

所以cosC1OEOCOEC1E2OC1OE2122(5232)()(2)2522，

553222所以异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为5。

5D1A1EDAFS E A F B C1B1GCB变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1

= AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。

变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（

）

（A）30°

（B）45°

（C）60°

（D）90°

（三）课堂小结

1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。

2、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）——证——算——答”。

C 3、数学思想——化异面为共面，化空间为平面。这是我们学习空间几何最常用到的数学思想——转化化归思想。

D （四）课后作业：

1、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，且PR =3，AC = BD = 2，求AC与BD所成的角。

2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。

3、课本P48第2题。

4、变式3题。

A P R C B 1D A 1

B N D 1C 1

C M B A