习题3.2教案教学设计

课题：直线的倾斜角和斜率

（第一课时）

谷崇武

【教学目标】

（1）

知识目标 ①

让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

②

通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。

③

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。

（2）能力目标

①

通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

②

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

（3）情感目标： ① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生 的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。 ②

通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数

学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

【教学重点】

①直线倾斜角与斜率概念；

②推导并掌握过两点的直线斜率公式；

③体会数形结合及分类讨论思想的作用。

【教学难点】

斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学。

【教学过程】

创设情境，导入新课

利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问

坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）

滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。

问题情境，形成概念

问题1、过平面直角坐标系内两点P、Q可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想确定其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？还需要增加一个什么样的几何量？

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

问题2、过点P与x轴形成450角的直线有几条？

（学生可能答一条或两条，投影演示结果）如何区分这两条直线呢？(学生可能想到还需要确定一个角)。

为什么已知直线上一点和直线与x轴所成的角不能唯一确定一条直线？选y L2P . L14545135o x 择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能确定坐标系下的一条直线呢？

（引导学生选取哪个角描述直线的倾斜程度，可分别确定这两条直线）

经历了这个角的形成过程，让学生用数学语言准确描述这个角（倾斜角的定义）。

师生互动，新课探究

1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角。

通过动画演示，帮助学生理解倾斜角定义。

问题3、在平面直角坐标系中过点P的直线，按倾斜角分，可分为几类？(让学生试着画)

yopypplxyolyoxlpxolx(1) (2) (3)(4)学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

如何规定？（当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0）数形

结合，得出倾斜角的范围是[0，180）

平面直角坐标系中一条直线



倾斜角

一一对应（倾斜角是从“形”的角度刻画平面直角坐标系内直线的倾斜程度）。

回顾旧知，迁移应用

(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？

（坡角与坡度）

(2)坡度定义是什么？

铅直高度坡度tan(为坡角)

水平长度（3）坡度随坡角变化如何变化？当坡角=90与0时坡度又分别是什么？

平面直角坐标系中的直线

斜坡对应直线的倾斜角 坡角对应迁移直线的斜率。

坡度

yP(1,k)yoA(1,0)xoA(1,0)xP(1,k)左图中倾斜角为锐角，图中横坐标x从0到1增加一个单位，纵坐标y从0增加到k(k>0),我们称k为这条直线的斜率。kAPtan，右图中倾斜角为钝角，在以后学习中可知，直线斜率OA

也可用倾斜角的正切值表示。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

问题4、当直线的倾斜角为钝角时，如何求它的斜率？

ktantantan(1800)

(1800为锐角)

0倾斜角为钝角的斜率，可转化到其补角180来求

2如：倾斜角135，则斜率k

2讨论交流，加深理解

问题5、当倾斜角变化时，斜率k如何变化？（动画演示）

y lp x o y lly p y p x o p x o lx o 0o90o直线的倾斜角为锐角，k>0； 随着直线的倾斜角增大，k值增大。 90o垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在。

90o180o0o直线的倾斜角为直线平行于x轴或钝角，

k<0 ； 或与x轴重合，此随着直线的倾斜角时直线的倾斜角增大，k值增大。 为0°，

k=0。

新知演练

及时反馈 例1、下列哪些说法是正确的（ D、F ）

A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大

C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π

D、直线斜率的范围是R E、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

F、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等

尝试推导，深化认识

确定直线斜率

直线倾斜角一条直线两点确定确定

确

定

问题6、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，怎样用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

解：设直线P1 P2倾斜角为（90）,过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2 设

x=x2x1, y=y2y1

k=tantanQPP12yy2y1

xx2x1（2）当为钝角时，180（设QP， 1P2=）tantan(1800)tan

设

x=x1x2, y=y2y1

tanyyyy2y121

xx1x2x2x1tany2y1yy 即k21

x2x1x2x1（可让学生分组推导）

综上，无论为锐角或钝角，都有tanyyy2y1，即k21

x2x1x2x1

yP2（x2，y2）P1（x1，y1）OyQ （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）Oxαx

yP1（xyy1）轴或轴时，上述结论适用吗？

1，P1（x1，y1）12思考： 1、当直线垂直于xα22Q （x，y）2、斜率公式使用时应注意什么问题？

P（x，y）2O新知演练

及时反馈：

xQ （x1，y2）OP2（x2，y2）αx例2.求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。 （1）A（3,2）,B（-4,1） （2）A（3,2）,B（4,1） （3）A（3,2）,B（3,-1）

（4）A（3,2）,B（-4,2）

（1）k1，锐角AB

7（2）kAB1，钝角（4）kAB0，零度角（3)不存在小结全课，概括升华

1、倾斜角和斜率的概念：

（1）两者都是刻画直线倾斜程度的两个量，一个从形方面，一个从数方面。

o（2）倾斜角取值范围0，180

2．求斜率的方法：k=tanα，

ky2y1.(x1x2)

x2x13、数学思想方法：分类讨论思想，数形结合思想。

板书设计

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围[0，180）

2、直线的斜率

①定义法

为锐角时：ktan（90）

（展示斜率坐标公式的过程）

为钝角时：

ktantan(180)tan

0②坐标法

布置作业： 课本P1、2、3、4、5题63

第

ktany2y1.(x1x2)x2x1