1.2.1 充分条件与必要条件教学设计案例

§1.2.1

充分条件与必要条件

教学目标

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

知识点：

充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

pq

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

新课探究：

探究点一

充分条件、必要条件

思考1

结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．

答

充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论．或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．

必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于綈q⇒綈p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件．

思考2

判断命题“若x＝1，则|x|＝1”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．

答

“x＝1”是“|x|＝1”的充分条件，“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件．

两个条件“x＝1”和“|x|＝1”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“|x|＝1”对应集合记作B.显然A⊆B. 例1

下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；

(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；

(3)若x为无理数，则x2为无理数；

(4)若x＝y，则x2＝y2；

(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

(6)若a>b，则ac>bc. 1

解

(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；

(2)∵p⇒q，而q(3)∵pp，∴p是q的充分不必要条件．

q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．

p，∴p是q的充分不必要条件．

p，∴p是q的充分不必要条件．

p，∴p是q的既不充分也不必要条件．

(4)∵p⇒q，而q(5)∵p⇒q，而q(6)∵pq，而q反思与感悟：

本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 练1：

指出下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；

(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(3)p：sinα>sinβ，q：α>β. 解

(1)∵x2＝2x＋1D⇒/x＝2x＋1，

x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，

可以推出x＝1或x＝2，

∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．

(3)由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

探究点二

充分条件、必要条件与集合的关系

思考

设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

答

p是q的充分条件，q是p的必要条件．

例2

是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．

解

由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}，

p由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}．

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p由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．

反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．

练2：

已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

mm解

由3x＋m<0得，x<－.∴p：A＝{x|x<－}．

33由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

m∵p⇒q而qD⇒/p，∴AB，∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．

课堂检测：

1．a<0，b<0的一个必要条件为(

) A．a＋b<0

aC.>1 b答案

A 解析

a＋b<0D⇒/a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0. 2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A 解析

由于θ＝0时，一定有sinθ＝0成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．

3．“a>b”是“a>|b|”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

3

B．a－b>0 aD.<－1 b

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

B解析

由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|. 4．若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围．

解

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，由已知条件，知{x|x2或x<1}．

所以m≤1.故m的取值范围是{m|m≤1}．

课堂小结：

1．充分条件、必要条件：

掌握充分条件与必要条件的概念，分清命题中的条件与结论

2．充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断．

(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．

3．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．

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