复习参考题教案设计范例

课题：构建立体模型，探究位置关系

湘西州民族中学

张浩

【教材分析】

立体几何在每年的高考中都有一道大题，主要是以简单的多面体和旋转体为载体，考查学生的空间想象能力与推理论证能力。难度不大，属于中档题。通过前面的复习，学生初步掌握了线面平行垂直的证明，熟悉常见平面图形中的平行与垂直关系，理解体积和空间角的求法，以及翻折问题与探究性问题的解题思路。本部分内容主要是综合应用前面所复习内容解题，逐步融会贯通。重点强调解题过程中构建立体几何模型：通过立体图形平面化分解几何体，通过翻折等手段搭建几何体，从而准确把握几何体的结构，理清其中蕴含的线面平行及垂直关系，找到解题思路。同时进一步强调解答过程中规范书写，注意表达的逻辑性与准确性，训练学生思考问题的严谨性。

【学生分析】

从平时练习情况看，本班学生普遍缺乏空间想象能力，遇到稍微复杂的图形就不能准确找到线面之间的平行垂直关系，也就无法利用定理解题。同时不能用规范的语言按照演绎推理的“三段论”书写解答过程，重点不突出，抓不住得分点，常常出现步骤不全或条件不全导致扣分的情况。

【教学目标】

1、

知识与技能目标：

通过本课学习，学生尝试综合运用前面所学知识进行解题；

通过加强数学语言的训练，培养数学表达能力，提高逻辑推理的核心素养。

2、过程与方法目标：

学生经历立体图形平面化与翻折等过程，学会构建几何体模型，提高直观想象的核心素养，体会转化与化归的数学思想。

3、情感态度与价值观目标：

通过对条件与结论之间推理过程的探究，培养学生的探究精神，克服（对立体几何的）畏难情绪。

【重点难点】

重点：学会通过对条件的分析，构建立体几何模型

难点：深入挖掘出条件中隐藏的线索

【教学辅助手段】

利用PPT，几何画板软件，立体几何模型教具，多方面展示。

引导学生利用手边的工具，构建几何体模型。

【教学过程】

一、引入

立体几何的内容在高考中一般通过两个小题和一个大题来考查，主要考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，兼顾考查运算能力。

前面我们已经复习了立体几何中的各个专题的内容：如线面垂直关系的证明，体积及空间角的求法，探究问题及翻折问题的思路。这些知识都要在具体的几何体模型中去应用，如果图都看不明白，也就无法用上这些知识解答。那么，如何根据题目中的条件，清晰地认识几何体的结构特征及其蕴含的线面位置关系，进而找到解题途径呢？前面我们归纳过解答立体几何大题应处理好以下三个方面：

1、分析条件，构建几何体模型：

2、探索解题思路：

3、规范答题：

下面我们通过几个例题和练习题进行进一步的探究。

1

二、典例分析

例1、（2017全国Ⅲ理T19）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD。

（1）证明：ACBD；

（2）已知ACD为直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合

的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比。

1、分析条件，初步构建几何体模型

（1）教师在草稿纸上画ABC与ACD，再沿AC折叠，同时用教具展示。

（2）教师提问：符合条件的四面体ABCD是否有且仅有一个？

学生通过对图形的翻折，认识到有无数种可能。

2、根据模型，解答第（1）问

（1）教师提问：这无数种四面体中，都满足ACBD吗？怎么证明？

引导学生根据“等腰三角形”、“等边三角形”、“垂直”等关键词联想到“三线合一”，进而找到证明途径。（2）让学生观察PPT上的解答，指出其中不规范的地方，加以更正。

参考解答：设AC中点为O，连接BO与DO

………………1分

∵ADCD，∴ACDO

同理ACBO

又∵BO与DO是平面DOB内两条相交直线，

∴AC平面DOB

…………………………………3分

∵BD平面DOB，∴ACBD…………………4分

3、增加条件，进一步确定几何体结构

（1）分析条件：ACD为直角三角形，提问：哪个角是直角？从这个条件能推出什么结论？

引导学生分析：ADC90，ACD为等腰直角三角形，可得AB,BC,AC,AD,CD,BO,DO之间的长度比例，等等——————修正图形

（2）分析条件：ABBD，提问：在刚才那无数种的四面体ABCD中，都有ABBD吗？要满足什么条件时（翻折到什么位置时），ABBD才成立？

引导学生分析，方法可以多样：

如ABBDBC，所以B点在平面ACD内的射影是ACD的外心O，即OB平面ACD；

或者，设AB2a，则ODa，OB3a，BD2a，所以OD2OB2BD2，OBOD。

结论：即翻折到平面ABC与平面ACD垂直时ABBD；——————再次修正图形

（3）分析条件：E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，提问：E点在哪儿时，AEEC？

引导学生分析：若AEEC，则在RtACE中，OE11AC，OEBD，故E是BD的中点。

22——————确定点E位置，得出最终模型

4、根据模型，解答第（2）问

（1）怎样求出求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比？

关键在于确定底面和高，以便求体积。一般可以转化为求ABCD与ABCE的体积，底面是ABC，高分别是BO和1BO。也可以以BCE和CDE为底面，A为公共顶点。

2（2）整理解题思路即关键步骤，分析得分点

先证OBOD，再判断E是BD的中点，最后得VABCE:VACDE1:1

（3）让学生观察PPT展示的解答过程，纠正其中的不规范之处。

参考解答：连接EO…………………………………5分

易知ADC90，设AB2a，则BDAB2a，DO3a，BOa

则OD2OB2BD2，∴DOB是直角三角形，…………………………………7分

又∵AEC是直角三角形，则EO在RtDOB中，EO1ACa

21BD，可证E是BD的中点…………………………………9分

2∴点E到平面ABC的距离是点D到平面ABC的距离的一半，

∴四面体ABCE的体积是四面体ABCD体积的一半，

故四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1:1。…………………………………12分

2

三、小结（引导学生自己总结归纳，可以用自己的语言描述）

解答立体几何大题应处理好的三个方面：

1、分析条件，构建几何体模型：

充分利用“立体图形平面化”的方法，将几何体分解成多个平面图形，利用题目中相关的条件来分析其中的位置关系以及长度之间的关系（长度关系较复杂时不妨设一下）。——数学转化与化归的思想。

同时通过搭架子、翻折等方法将平面图形构建成立体模型，要充分利用好每一个条件，分析透彻，确定点线面的位置（重点关注底面及其垂线、垂面）。

开始时可以借助具体的模型认识其中的位置关系，熟悉以后要逐渐过渡到不需要具体模型，仅凭直观图和条件就能想象出几何体的具体结构特征——直观想象的核心素养

2、探索解题思路：

由已知条件顺推，由待证结论逆推。多熟悉一些常见的几何体模型和平面图形，能迅速判断出其中的特殊位置关系，节省分析论证时间。

3、规范答题：

根据演绎推理的三段论，准确运用定理（大前提），找齐条件（小前提），有序推导。注意排版，得分点要突出展示——逻辑推理的核心素养

P

四、练习1 （2016四川）如图，在四棱锥PABCD，PACD，

1AD

2（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，

AD∥BC，ADCPAB90，BCCDBC并说明理由；

（2）证明：平面PAB平面PBD。

AD

BC1、分析条件，构建模型

（1）分解图形：注意底面及其垂线（垂面）

学生通过题设对底面的描述，尝试画图（立体图形平面化），

意识到底面是前面研究过的一种特殊的直角梯形，

AD发现其中ABBD的关系；

学生要在题设的多个条件中，准确找到相关的两个：PACD，PAB90，确定PA平面ABCD。

（2）构建模型

学生尝试利用手边的工具建模：比如可以先在稿纸上画底面ABCD，再立一根竖直的线段（笔，细木棍等）PA；或者沿AB将RtPAB折叠到与底面ABCD垂直的位置。

然后教师再展示准备好的教具。

2、分析要证明的结论，探究解题途径

（1）要在平面PAD内找一点M，使CM∥平面PAB，一般应使CM平行于平面PAB内一条直线（线线平行线面平行）。不作辅助线的话，CM与平面PAB内PA,AB,PB哪一条平行较易证明？

引导学生分析出，当点M是AD的中点时，CM∥AB，则可得CM∥平面PAB。并让学生口答。

（2）深化：点M只能是AD的中点吗？为什么？

教师结合动画展示分析：过点M有且仅有一个平面与平面PAB平行，若CM平面，则CM∥平面PAB（面面平行线面平行）。（动画展示平面截四棱锥PABCD的过程）。显然点M在平面与平面PAD的交线上。你能作出平面与平面PAD的交线并说明理由吗？

让学生自己分析并口述理由，注意表达要准确。

（3）教师提问：要证明平面PAB平面PBD，应该怎么办？学生：先找线面垂直

平面PAB与平面PBD中哪个的垂线容易找？是那一条，怎么证明？

PACD让学生口述证明思路：BD平面PAB平面PAB平面PBD

PAAB3、规范答题

让学生口答，或让学生在稿纸上写出详细过程，选择有代表性的投影展示。

3

参考解答：

（1）当M是AD的中点时，CM∥平面PAB

……………………………………………………2分

证明：连接CM，易证AN∥BC，AMBC，

∴四边形ABCM是平行四边形，CM∥AB

…………………………………………………4分

又∵CM平面PAB，AB平面PAB，∴CM∥平面PAB………………………………6分

（2）由题设知PABD，PAAB，AB,CD是平面ABCD内两条相交直线

∴PA平面ABCD

又∵BD平面PAB，∴PABD………………………………………………………………8分

连接BM，易证ABM与DBM都是等腰直角三角形，

∴ABDABMDBM90，ABBD…………………………………………………10分

∵PABD，ABBD，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB

∴BD平面PAB

又∵BD平面PBD，∴平面PAB平面PBD

………………………………………………12分

五、练习2 在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中点。（1）求证：CMEM；

D（2）求DE与平面EMC所成角的正切值；

2

（3）求CM与平面CDE所成的角。

45

E

1、分析条件，构建模型

提示：设AE1，能不能把所有的棱长都求出来？

C重点是弄清楚底面ABC与侧面ABDE的特征，

A注意到CM平面ABDE，EMDM。

M2、参考解答

B（1）∵ACBC，M是AB的中点，∴CMAB

D∵DB平面ABC，CM平面ABC，∴CMBD

又∵ABBDB，AB平面ABDE，BD平面ABDE

∴CM平面ABDE

∵EM平面ABDE，∴CMEM

E（2）连接DM，设AEa，

在直角梯形ABDE中，易得EM3a，DM6a，DE3a

显然EM2DM2BD2，∴DMEM

由（1）知CM平面ABDE，DM平面ABDE

AMDMCM则

∵EMCMM，EM平面EMC，CM平面EMC

∴DM平面EMC，EM是DE在平面EMC内的射影，DEM是DE与平面EMC所成的角

BDM2，即为所求。

EM（3）在CDE中，易求得CD22a，DE3a，CE5a，

在RtDEM中，tanDEM21，则CDE45，SCDE22a3asin453a2

22222a3a设点M到平面CDE的距离为d，

322a2aSDEMCM112a

∵VMCDEVCDEM，即SCDEdSDEMCM，∴d2SCDE3a33cosCDE则CM与平面CDE所成的角的正弦值

4

8a29a25a2da2，则CM与平面CDE所成的角为45。

CM22a