习题3.1优秀教案内容

倾斜角与斜率

【教学目标】

1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式

2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法

3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神

【重点难点】

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 【课时安排】

1课时

【教学过程】

导入新课

如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.

图1 推进新课

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新知探究

提出问题

①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2 ③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少? 活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上．．．方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.

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倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.

⑤教师介绍正切函数的相关知识. ⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率）

⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=应用示例

例1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何一条直线都有斜率．(

)

(2)斜率相等的两直线倾斜角相等．(

)

(3)直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大．(

)

(4)与y轴垂直的直线的斜率为0.(

)

例2．已知点P(0，0)，Q(－1，3)，则直线PQ的斜率为(

) A.3

B．－3 3C.3

D．不存在

- 3 - y2y1. x2x1

例3．已知a、b、c是两两不相等的实数，P(b，b＋c)，Q(a，a＋c)，则直线PQ的倾斜角为________．

解析：因为kPQ＝a＋c－b－c＝1，

a－b所以直线PQ的倾斜角为45°. 例4.已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．

(1)求直线AB和AC的斜率；

(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．

(链接教材P62例1) [解]

(1)由斜率公式可得直线AB的斜率

2－31kAB＝＝，

－4－37－2－35直线AC的斜率kAC＝＝，

30－315∴直线AB的斜率为，AC的斜率为.

73(2)如图，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD15的斜率的变化范围是[，]．

73

方法归纳

(1)求直线的斜率的途径有两个：一是利用斜率公式；二是利用倾斜角．我们必须熟练掌握这两种形式．

(2)应用两点斜率公式时，两点的横坐标不能相等．否则，直线斜率不存在，造成错解．

例5.(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角是60°？

(2)若过点P(1－a，1＋a)与Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是____________．

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课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；

（3）直线斜率的概念；

（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 作业

习题3.1

A组3、4、5.

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