阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法教学设计(第一课时)

课题

阅读与思考

欧几里得《原本》与公理化方法

课型

数学文化

课时：

1课时

授课时间：

教

学

目

标

教学

重点

教学

难点

教学

手段

教学

方法

教

学

过

程

知识与技能: 通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，理解公理化思想的内涵，并将其灵活运用于对数学学习的指导。

过程与方法: 从主观上热爱数学提高学习的动力,对数学的情感的培养。并通过对相关资料的搜集、梳理,公理化思想的发展。通过思考让学生掌握数学思维,更好地发挥数学的文化价值的方法。

情感态度与价值观: 融入数学史料,激发学生学习热情;领悟数学思想,提高数学素养;欣赏数学之美,感受无穷魅力;加强学科联系,体现数学价值;创设情境,体会应用价值。

理解公理化思想的内涵，并将其灵活运用于对数学学习的指导

理解公理化思想的内涵，并将其灵活运用于对数学学习的指导

多媒体 文献法

案例分析法

一、几何学的历史起源

二次备课

几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人

类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文活动有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦洪水退却，需要重新测量土地。因此便逐渐产生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面的知识。今天的“几何”（Geometry）一词，源于希腊语，本意是指测量术，明末中国学者徐光启译之为“几何”，我们一直沿用至今。

早期文明中的几何学内容基本都是与几何形体的度量计算以及测量有关。埃及数学文献“莫斯科纸草书”与“兰德纸草书”中计有110个数学问题，其中有26个属于几何问题，重要是计算土地面积、谷物体积等公式。由此可见，埃及人当时已掌握了圆周长、面积的近似公式，还知道三角形、圆柱体的求积公式。这些知识也在其它古老文明中出现，巴比伦人在公元前2000年—前1600年，已熟悉计算长方形、直角三角形、等腰三角形的面积，以及一些形体的体积，还掌握了勾股定理的特殊情况。中国秦汉以前的几何学内容，没有留下文字性材料，详细情况不得而知，但从西汉成书的《九章算术》，以及农业社会的社会形态上看，这些几何知识也相当发达。

二、欧几里得与《几何原本》

提起数学里的平面几何与立体几何一般人都知道，但若问这些理论是由谁首先系统建立起来的，恐怕就有许多人不知道了。这个人就是生活在2000多年以前的古希腊数学家欧几里得。欧几里得在他留传了几千年的光辉著作《几何原本》中，用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。

（一）欧几里得生平简介

欧几里得约公元前330年生于希腊的亚历山大城，曾受教于柏拉图学派。他曾在著名城市亚历山大进行学习和科学活动，并在那里建立了欧几里得学派。欧几里得并不是一位杰出的数学家，他只是对几何有一定的研究，并不是欧几里得发明了几何学。当时泰勒斯、尤多苏斯等人都是有名的数学家，他们对数学有深刻的研究，而欧几里得只不过善于把一些数学家对几何问题的证明用比较简洁的语言表达出来，他还善于改写别人的研究成果，重视总结前人的经验。欧几里得一生主要是整理自古以来人类所积累的全部数学知识，并集其大成，编写成一部完整的数学书——《几何原本》。这本书几乎被译成全世界各种文字。欧几里得大约于公元前275年去世。

欧几里得的性格正直，表里如一，不搞阴谋诡计，专心研究科学，对于有权势的人物从不阿谀奉承。传说，欧几里得时代有一位名叫托勒密的国王，在他学习几何时曾请教过欧几里得，问他除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得并没有把这位国王看在眼里，他严肃地回答道：“几何无王者之道”，意思是在几何学里，没有专为国王铺设的大路。“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”

欧几里得治学严谨，对学生要求十分严格，奖惩分明。当时有个学生在学了第一个定理之后便问：“学完此定理之后，我将得到什么？”，欧几里得听完之后叫过一个仆人道：“给他三个便士（当时流通的货币），因为他学了一点东西便要求有所得”。从这件事我们清楚地看到，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。

（二）欧几里得对数学发展的贡献

欧几里得虽然算不上杰出的数学家，但确实是一位有才华的组织者。他把当时希腊人研究几何的许多证明用更简明、逻辑的语言加以阐述，并把许多有用的知识收集到他的《几何原本》一书，该书把许多世代的几何发明和创造经过加工熔为一炉，是一本具有独特风格的名著。《几何原本》写得生动而又有条理，对前人的许多研究成果作了认真的分析，并给了出色的证明，富于权威性。甚至今天中学里学习的几何课本仍是从《几何原本》改写而成的，它为人类的精神文明起了很好的作用，为数学的发展奠定了基础。

欧几里得是一位很讲究证明方法的学者。有些数学证明题比较复杂，一时难于解决，但如果精心选择证法，往往可以使难化简，作到事半功倍，甚至有些长期解决不了的难题也能一针见血地得到证明。

欧几里得天才的、完美的创造物是《几何原本》。古希腊继承了埃及和巴比伦在实验几何学上的知识，运用逻辑推理的方法把几何学的研究推到高度系统化、理论化的境界，而欧几里得正是这样一位大师。《几何原本》是整个人类文明发展史上的里程碑，是全人类文明遗产中妙用无穷的瑰宝。

三、《几何原本》与演绎数学

欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．

《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有300多年的历史．泰勒斯是希腊第

一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．

接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理、不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．

柏拉图学派的思想对欧几里得无疑也产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也日臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。

公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．

《几何原本》（The Elements）由希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著。《几何原本》采用了前所未有的独特编写方式，先提出公理、公设、定义，然后由简到繁证明一系列定理。内容丰富，结构严谨，文字洗练，概念清晰，判断准确，推理周密，论证有力。对这本书英国的数学家罗素在《西方哲学史》中是这样评价的：欧几里得的《（几何）原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一。

《几何原本》从五个公设和五个公理入手，用逻辑推理的方法，演绎出内容极为丰富的几何知识。它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一些简单的立体几何知识，全书共13卷。。

四．公理化方法

公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．

亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．

公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公

理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。

第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，1667—1733)和兰勃特( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生．

19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在．于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列．后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关．现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何．

非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间．在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善

随着数学的深入研究和射影几何公理系统的建立，形式公理学的概念已经成熟．1899年希尔伯特《几何学基础》一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题．这本著作成为形式公理学的奠基著作．

希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理看成是没有数学内容的，数学内容是通过解释赋予它们的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述．因此，自从《几何学基础》问世以后，不仅公理化方法进入了数学的其它各个分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的阶段

五．公理化方法举例和应用

数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之上，复数集建立在实数集之上。

小组探究：由“

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。”可以得到哪些推论？

六．课堂小结

通过学习，你有哪些感悟？

七．作业布置

1.细读欧几里得《原本》的若干定义、公理、公设和命题. 2.简述《原本》在数学史上的意义. 3.写一篇有关公理化方法的小论文.

教学反思