3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计内容推荐

3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1

两条直线的交点坐标

1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)

[基础·初探] 教材整理

两直线的交点坐标

阅读教材P102～P103“探究”以上部分，完成下列问题．

已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成A1x＋B1y＋C1＝0x＝x0，的方程组有惟一解则两直线相交，交点坐标为(x0，A2x＋B2y＋C2＝0y＝y0，y0)．

直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(

) A．(4,1)

41C.3，3

B．(1,4) 14D.3，3



x＋2y－2＝0，【解析】

由方程组2x＋y－3＝0，

4x＝3，得1y＝3.

41即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是3，3. 【答案】

C

[小组合作型]

两直线的交点问题

直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.

【精彩点拨】

先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．

x＋y－2＝0，【自主解答】

法一

联立方程

x－y＋4＝0，x＝－1，解得即直线l过点(－1,3)．

y＝3，3因为直线l的斜率为2，

3所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)，即3x－2y＋9＝0. 法二

因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，

所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，

因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，

1＋λλ－14－2λ1所以3＝≠4，解得λ＝5，

－26418所以直线l的方程为5x－5y＋5＝0，即3x－2y＋9＝0.

1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点

的方程，再根据平行条件待定系数求解．

2．过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)．

[再练一题] 1．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

3x＋4y－2＝0，【解】

法一

由方程组

2x＋y＋2＝0，x＝－2，解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

y＝2，∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝2＝－1. －2

故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 法二

∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(

) A．6

C．2 【解析】

由kAB＝1，得B.2 D．不能确定

b－a＝1，∴b－a＝1. 1∴|AB|＝5－42＋b－a2

＝1＋1＝2. 【答案】

B 2．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．

a3【解析】

l1与l2相交，则有4≠6，∴a≠2. 【答案】

a≠2 3．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．

(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；

(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0. 2x＋y－3＝0，【解】

解方程组得交点P(1,1)．

x－y＝0，(1)若直线与l1平行，

∵k1＝2，∴斜率k＝2，

∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，

即：2x－y－1＝0. 3(2)若直线与l2垂直，∵k2＝2，

12∴斜率k＝－k＝－3，

2

2∴所求直线方程为y－1＝－3(x－1)，

即：2x＋3y－5＝0. 小结与作业（略）