1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计案例

棱锥的外接球问题

考试说明

空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 教学目标

(1)掌握棱锥与球有关的外接问题的三种核心模型。

(2)针对不同题型，掌握何时选用相对应的模型来解题。

(3)培养归纳概括、数学建模能力，注重累积数学活动经验，渗透化归与转化的思想。

教学重点

棱锥的外接球的球心的确定及半径的求法

教学难点

对求棱锥的外接球的半径的模型识别

教学过程

回顾

几种常见的外接圆半径的求法。

模型一、侧棱垂直于底面型

1.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为

A. 3264

B．

33

C．32

D．642

3

- 1 -

2．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=3，

∠ACB=60，∠BCD=90，AB⊥CD，CD=2为

．

B

2，则该球的体积

A C

第2题图

D 【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得

截面圆的半径为131，依题意得CD⊥平面ABC，

2sin6022，则球的半径为

故球心到截面的距离为1CD=

412(2)23.所以球的体积为(3)343. 33.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

方法小结

转换视角合理寻找侧棱与底面，之后运用模型。

模型二、两个面互相垂直型

4 . 已知三棱锥PABC

的顶点都在球O

的球面上，PAB

与ABC

是边长为23

的正三角形，

PAB面ABC,求球O

的表面积。

平面解析：

22R2O1C2OO12152S4R220

变式：已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上， 底面ABCD是正方形，PA

1，PB

3

，AB23, 平面PAB底面ABCD, 求球O的表面积。

- 2 -

5.如图，格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图

如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）

A. 16 B. 25 C. 16 D. 25

94

方法小结

关键是对d的求解，之后用d、R、r求解。

模型三、无直接互相垂直型

6．（全国卷，2010）已知三棱锥的各条棱长均为1，求其外接球的表面积。

解析：

7.

已知三棱锥

PABC

的顶点都在球O

的球面上，ABC，PAB是边长为23

的正三角形，

二面角

P-AB-C的平面角为60, 求球O

的表面积。

1232

22ODROD3cos303

2223

3 3

13

3

- 3 -

方法小结

构造垂直或先确定球心，再构造直角三角形求解。

课时小结

本节主要学习了棱锥与球有关的外接问题的三种核心模型。

针对不同题型，掌握何时选用相对应的模型来解题。

当然，对几种常见外接圆半径的求法要熟练掌握。

作业

1.如图，在三棱锥P-ABC中，

PA



平面

ABC

,CB



PB

,CB



AB

,

PA



2

AB



2

，求其外接球且

2

BC的体积。

VAAC2，VAC120，BABC

则2. 在三棱锥VABC中，面VAC面ABC，三棱锥VABC的外接球的表面积是

▲

.

16

3.

已知边长为63的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C的大小为60°的四面体，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．156

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