2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计实例

第三节

空间点、直线、平面之间的位置关系

[考纲传真]

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

3.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4．异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．

π(2)范围：0，2. 

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(

) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(

) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(

) [答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2．(教材改编)如图7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

)

图7-3-1 A．30°

C．60°

B.45°

D.90°

C

[连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，

故∠D1B1C为所求的角，

又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.] 3．在下列命题中，不是公理的是(

) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

A

[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．] 4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A

[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.] 5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．

b与α相交或b⊂α或b∥α

平面的基本性质

如图7-3-2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

图7-3-2 (1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[证明]

(1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.2分

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面.5分

(2)∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.8分

同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

ziyuanku.com∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.12分

[规律方法]

1.证明线共面或点共面的常用方法：

(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．

(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明点共线问题的常用方法：

(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．

(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

WWW.ziyuanku.com[变式训练1]

11如图7-3-3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊2AD，BE綊2FA，G，H分别为FA，FD的中点．

图7-3-3 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

1[解]

(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊2AD.2分

1又BC綊2AD，

∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形.5分

(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：

1由BE綊2AF，G为FA的中点知BE綊GF，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.8分

由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，

∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.12分

空间直线的位置关系

(1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)(2017·郑州模拟)在图7-3-4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

①

②

③

④

图7-3-4 ziyuanku.com(1)D

(2)②④

[(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．] [规律方法]

1.异面直线的判定方法：

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．

[变式训练2]

(2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给

出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(

) A．①④

C．③④

B.②③

D.①②

A

[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]

异面直线所成的角

(1)如图7-3-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

)

图7-3-5 WWW.ziyuanku.com1A.5

3C.5

2B.5

4D.5

(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(

) 3A.2

3C.3

2B.2

1D.3

(1)D

(2)A

[(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，

则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，

在△A1BC1中，由余弦定理得

5＋5－24cos∠A1BC1＝＝5. 2×5×5

(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

ziyuanku.com且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，

同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

ziyuanku.com3故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为2.]

[规律方法]

1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

2．求异面直线所成角的三个步骤：

(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．

ziyuanku.com(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．

(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

[变式训练3]

如图7-3-6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

图7-3-6 2

[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝2AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.]

[思想与方法] 1．主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．

[易错与防范] 1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．

2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．

3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．