小结教案设计

直线方程小结

教学目标

1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．

教学重难点：

1、

直线方程的求法

2、

直线平行与垂直的判定

知识梳理：

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°. ，存在，α≠90°(2)k＝

不存在，α＝90°.

(3)斜率的求法：

①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．

2．直线方程的几种形式的转化

3．两条直线的位置关系

设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则

(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；

A1B1C1(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)．

A2B2C24．距离公式

(1)两点间的距离公式．

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. (2)点到直线的距离公式．

|Ax0＋By0＋C|①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝；

A2＋B2

②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2|A2＋B2. 题型探究

例1

直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．

解：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－4x0＋y0＋3＝0，y0)，并且满足

3－2－x－54－y－5＝0，004x0＋y0＋3＝0，即

3x0－5y0＋31＝0，x0＝－2，解得

y0＝5，

y－2x－－1因此直线l的方程为＝，

5－2－2－－1即3x＋y＋1＝0.

练1

求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．

例2：已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

解

(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，

则m＋2n＋0－2·＋8＝0，22n－0＝－2，m－2

m＝－2，解得故A′(－2,8)．

n＝8，

因为P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

x＝－2，x＝－2，解得

x－2y＋8＝0，y＝3，

故所求的点P的坐标为(－2,3)．

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，

y＝x－2，x＝12，解得

x－2y＋8＝0，y＝10，

故所求的点P的坐标为(12,10)．

练2：在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．

规律与方法：

1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0. 2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．