信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆板书设计及意图

《几何画板》探究点的轨迹——椭圆教学设计

邵阳市第一中学

孙和国

一、

背景分析：

本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想. 二、

教材的地位和作用：

圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用. 三、

学法指导：

以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

复习回顾

问题推广

引出课题

归纳小结

课堂练习

典型例题

四、教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：

1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景；

2、了解离心率的几何意义；

3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；

4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；

5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待

1

问题，体现数学的美学价值. 五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程；

六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用；

七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程

（一）、概念重温

1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

（二）新知引例

2．点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线

l:

x=8

的距离的比为1:2,求点M的轨迹方程.（课本50页B组第3题）

求轨迹方程的基本步骤：

建、设、限、代、化、验

（请学生自己探索，并引导学生从以前学的求曲线方程的方法进行证明，请学生板书）

证明过程：

设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P=睚M|L’

由此得M F1 F2 禳镲镲铪|MF|1=

d2L (x-2)+y2|8-x|2=1，

2x2y2+=1

将上式两边平方，并化简，得1612这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为8、4的椭圆。（如图所示）

【设计目的】

通过“前节课的例题”一方面引导学生注意对前面学过的知识的反思和巩固。另一方面想通过数学符号与文字语言的互译让学生自己注意命题“椭圆上的一点到焦点的距离可以表示成横坐标的函数”然后再由这个函数关系推导出椭圆的标准方程，这样对于学生来说可能就不会那么突然地给出那么多巧合的数据了。

（三）新知探究

问题：F是定点，l是不经过F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离比e是小于1的常数。猜想M的轨迹是什么？

2

发现：M的轨迹是椭圆

1、

椭圆的定义（第二定义）

定义：平面内到一个定点F和一条定直线

l （F不在

l上）

的距离的比为常数e(0

l 叫准线。

2、

定义式：|MF1||MF2|=e或=e（左对左，右对右）

d1d23、

椭圆的标准方程与准线方程

（1）

焦点在x轴

x2y2a2左准线方程：2+2=1(a>b>0)x=-

abca2右准线方程：x=

c（2）

焦点在y轴

y2x2+2=1(a>b>0)

2aba2上准线方程：y=

c下准线方程：y=-（四）知识应用

a

c2

x2y2例1.已知椭圆2+2=1(a>b>0)

的右焦点为

F(c,0)，M(x0,y0)是椭圆上任意一点，求|MF|ab的最大值与最小值，并写出相应点M的坐标

解：思路1

用几何画板直观感受思路2

用所学知识推理证明

结论：当M(-a,0) 时MF最大，最大值是a+c

当M(a,0) 时MF最小，最大值是a-c

x2y2例2.若椭圆：+=1内有一点

P(1，-1),F为右焦点，椭圆上有一点M，求43|MP|+2|MF|的最小值及此时点M的坐标

3

（四）课堂小结

1、本节课我们学习了哪些知识

(1)椭圆的第二定义；

(2)椭圆的准线方程与焦半径公式

（五）课堂练习

x2y2+=1上一点P到右准线的距离是10，求P到左焦点F的距离。

1.椭圆100362.已知椭圆满足：e=1，右准线方程为x=4，求椭圆的标准方程。

2解：1、记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2

由椭圆的第二定义：|PF2|8|PF2|=，得|PF2|=8

=e，所以1010d2

又由椭的第一定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=20，所以|PF1|=12

【小结】椭圆第二定义的应用和第一定义的应用；注意椭圆中的几个定值的灵活使用，

1ca2x2y2+=1

2、由e==，准线x=4=得2ac43a2

【小结】注意准线方程给出的信息，焦点的位置和的值；

c【设计目的】通过例题教学，使学生掌握椭圆标准位置时准线方程的两种形式，能根据标准方程写出其准线方程，能结合第一定义与第二定义解题，并能将第二定义应用到与距离有关的问题中，灵活进行距离的转化，深刻体会数学中的数形结合、转化与化归的思想。

（六）、课后作业

1、（思考）

已知

，

为椭圆

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

的中点到椭圆左准线的距离是

椭圆第二定义

典型例题

1．

2．

，试确定椭圆的方程．

（七）、板书设计：

引例推导过程

课堂练习：

课堂小结：

课后作业：

思考：

4

《几何画板》探究点的轨迹——椭圆公开课反思

《几何画板》探究点的轨迹——椭圆在教材中是利用信息技术应用的形式给出的，我想采取习题与推广的形式先给出一个命题“椭圆上的一点到焦点的距离可以表示成横坐标的函数”然后再由这个函数关系推导出椭圆的标准方程，这样对于学生来说可能就不会那么突然地给出那么多巧合的数据了。也从而引导学生要注意课本上的习题加以反思，立足教材。椭圆的第二定义其实在圆锥曲线这一章来说是非常重要的同时也是一个难点，而正是“比值定义”可以把圆锥曲线的三种形式有机的统一起来。

教本节课采用多媒体信息技术教学，可大大增加本节课的容量与直观感受，通过“习题与推广”引导学生要对一些习题加以反思，通过数学符号与文字语言的互译让学生自己写出命题，从而激发学生学习的兴趣。同时结合多媒体尤其是几何画板的动画功能吸引学生的注意力，加深对“比值定义”的理解。但在实际操作过程中，讲解新课的速度太快，学生的思维还比较难跟上来，在讲解例题时，给学生思考的时间太短了，另外还要注意板书设计的合理性。

总之，做为一名教师，要对教材进行反复地研究，多参考一些教师用书吸取别人的长处，多向老教师学习，多与同事交流，要善于改变自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。不断加强业务素质和教研能力，完善自己，提高素质。在教学过程中一定要注意学生的思维能力，加强如何对学生进行启发性的引导，从而真正使学生能进行主动思考，充分体现学生的主体性，教师的指导性。

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