3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀说课稿

2019年“一师一优课”教学设计

四川省天全中学：高文斌

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学设计

教学目标：

1．掌握导数的四则运算法则； 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 3．能运用初等函数的导数公式及其几何意义解题。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一、创设情景，复习引入【基础、初探】

（一）教材整理

1.几个常见函数的导数

12ycyxy复习教材P 5个常见函数、、、、yx

的导数公式及应Pyx1314x用

函数

导数

yc

y'0

yx

y'1

yx

y1

x2yx y'2x[来源:学科网]

1y'2

x1y 2x二．新课讲授【知识梳理、要点初探】

学法指导：阅读教材,认真分析，独立思考，总结规律方法，完成导学案。

（一）基本初等函数的导数公式表

f(x)c

f'(x)0

f(x)xn(nQ*)

f(x)sinx

f(x)cosx

f'(x)nxn1

f'(x)cosx

f'(x)sinx

f'(x)axlna(a0且a1)

f'(x)ex

f'(x)1(a0且a1)

xlnaf'(x)1

xf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

【微体验】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

11(1)(log3.). (

) (2)若f(x)，则f(x)lnx .(

) ln3x基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1 / 5

2019年“一师一优课”教学设计

四川省天全中学：高文斌

(3)因为(sinx)cosx

，所以(sin)cos1 .(

) 答案：（1）× （2）× （3）×

（二）教材整理2 导数的运算法则

阅读教材P15

例2以上部分，完成下列问题

导数的运算法则：设两个函数f(x),g(x)

可导，则

导数运算法则

和的导数

差的导数

积的导数

商的导数

'

1．f(x)g(x)f'(x)g'(x)

2．f(x)g(x)f'(x)g'(x)

3．f(x)g(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)

f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)4．(g(x)0)

2g(x)g(x)''''（2）推论：cf(x)cf'(x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

【微体验】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)a22axx2，则f(a)2a2x .(

) 1f(x)(f(x)0) .(

) (2)2f(x)f(x)(3)运用法则求导时，不用考虑f(x),g(x)

是否存在.(

) 答案：（1）× （2）√ （3）×

三．典例分析【合作、探究、通关】【分组讨论、疑难细究】

类型1、利用导数公式求函数的导数

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

【解】：根据基本初等函数导数公式表，有p(t)1.05tln1.05

所以p(10)1.0510ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．(1)已知函数f(x)x2在点(x0,y0)处的导数为1，则x0y0________. (2)求下列函数的导数：

1①yx20； ②y4； ③ylog6x； ④ysin. x3【自主解答】

(1)由题意可知，f(x0)1

，又f(x)2x

，所以2x01

，

113所以x0,y0, 

x0y0. 244

(2)①y(x20)20x20120x19. ②y(x4)4x414x5 . 1③y(log6x). ④y(sin)0.

xln63【点评】：①

求导数是在定义域内实行的．②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3：日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

2 / 5

2019年“一师一优课”教学设计

四川省天全中学：高文斌

5284(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%

【解】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)''

c(x)()100x(100x)20(100x)5284(1)5284

(100x)2(100x)25284（1）

因为c'(90)52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率2(10090)是52.84元/吨．

5284（2）

因为c'(98)1321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是2(10090)1321元/吨．

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

用公式求函数导数的方法

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本1函数的模式，如y4可以写成yx4

，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免x在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 【再练一题】：

31.(1)若f(x)cosx

，则f()(

) 23A.0

B.1

C.1

D.

233【解析】∵f(x)cosx

，∴f(x)sinx .故f()sin()1.故选C 22(2)求下列函数的导数：

1①y5x

； ②y5； ③yln3

； ④yxx3. x5【解】

①y(5x)5xln5 . ②y(x5)5x66 x55535xx322③y(ln3)0 ④yxxx

，y(x)x2 22类型2 利用导数的运算法则求函数的导数

例4：求下列函数的导数：

1xx3(1)y2sincos； (2)yx(x2x6)2；

x222x(3)ycosxlnx

； (4)yx. e【自主解答】

c(x)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

3 / 5

2019年“一师一优课”教学设计

四川省天全中学：高文斌

1xx112123sincos)(x)(sinx)2xcosxcosx

23x2222x233(2)y(x3x26x2)(x3)(x2)(6x)(2)3x23x6 22cosx=（cosx）lnxcosxlnx=sinxlnx（cosxlnx）(3)y

xxxexx(ex)exxex1x(4)y(x)x x22xe(e)ee【规律总结】利用导数运算法则求函数的导数的两个策略

1.解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则. 2.对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 【再练一题】

2.(1)函数f(x)(x1)2(x1)在x1处的导数为(

) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】

可对函数直接求导，再代入x1后求值，f(x)(x1)2(x1)=x3x2x1. 1=321=4.故选D f(x)3x22x1，f（）(2)求下列函数的导数：

11sinxcosx①yx(x23)； ②y；

xx2cosx1112【解】

①∵yx(x23)=x312x3x21，∴y3x22x33x23. xxxxsinxcosx1sinx1sinxcos2xsin2x1=（1)，∴y()②∵y. 222cosx2cosx2cosx2cosx2cosx类型3：导数的综合应用（综合关）

探究：

利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以解决哪些问题？

【提示】

利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算. x2例5：已知函数f(x)1(a0)的图象在x1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三a角形面积的最小值. 【精彩点拨】

求f(x)→求f(x)在x1处的切线方程→求切线在两轴上的截距→建立面积S关于a的函数关系式→求面积的最值

2x21【自主解答】

∵f(x)，∴f(1).又∵f(1)1，

aaa12∴f(x)在x1处的切线l的方程是：y1(x1). aa∴l与坐标轴围成的三角形的面积为：

11a1111S1(a2)(22)1. 2a24a41当且仅当a，即a1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1. a名师指津：1.本题属于导数综合题，使用了建模的思想，建立面积函数，并应用基本不等式求函数的最值. (1)y(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

4 / 5

2019年“一师一优课”教学设计

四川省天全中学：高文斌

2.利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题.这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确定切点，求切线方程. 【再练一题】

3.点P是曲线yex上任意一点，求点到直线yx的最小距离。

【解】根据题意，设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点（x0,y0)，该切点即为与yx距离最近的点，

则在点（x0,y0)处的切线斜率为1，即yxx1. ∵y(ex)ex，

0∴ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为2. 2四．课外延伸【体验、落实、评价】

1.下列四组函数中导数相等的是(

) A.f(x)1与f(x)x B. f(x)sinx与f(x)cosx

C. f(x)1cosx与f(x)sinx D. f(x)12x2与f(x)2x23

【解析】由求导公式及运算法易知，D

中f(x)(12x2)4x

，与f(x)(2x23)4x

相等，故选D

2.曲线f(x)xlnx在点x1处的切线方程为(

) A.y2x2 B. y2x2 C. yx1 D.yx1

【解析】

∵f(x)xlnx，∴f(x)lnx1，故切线斜率为kyx11.又∵切点坐标为(1,0)，∴切线方程为yx1.故选C

3.已知ysinxcosx，则y＝________. 【解析】y(sinxcosx)(sinx)(cosx)cosxsinx

故y＝cosxsinx 14.直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b________. 2111【解析】设切点为（x0,y0)

y,, x2x01x02

，y0ln2

，ln22b

，bln21

故bln21

2五．回顾总结

（一）基本初等函数的导数公式表

（二）导数的运算法则

（三）我的收获：

1.本节课你学到的知识点

2.本节课所讲的题型

3.你还有那些疑惑？

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

5 / 5